Problema 5 examen matemàtiques CCSS 04.06.2020

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función $$B(t) =\left\{\begin{array}{lcr}at – t^2 & si & 0 \leq t \leq 6 \\ 2t & si & 6 < t \leq10 \end{array}\right.$$ siendo $t$ el tiempo transcurrido en años.

Calcule el valor del parámetro $a$ para que $B$ sea un función continua.

En los intervalos $(0,6)$ y $(6,10)$ la función es continua por ser polinómica en ambos casos.
Para que también sea continua en el punto $x=6$ (punto que separa ambos trozos) debemos aplicar la definición de continuidad en un punto: debe existir $f(6)$ y además coincidir con ambos límites laterales.
$$a \cdot 6 – 6^2 = 2 \cdot 6 \longrightarrow \boxed{a=8}$$

Para $a=8$ represente su gráfica e indique en qué periodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.

La función crece en $(0,4)$ , decrece en $(4,6)$ y vuele a crecer en $(6,10)$. Por tanto: el beneficio crece durante los primeros $4$ años, decrece en los dos años siguientes y vuelve a crecer en los $4$ últimos años.

Para $a=8$ indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros $6$ años y a cuánto asciende su valor.

En los $6$ primeros años el máximo está en el vértice de la parábola: $(4, 16)$. Dado que el tiempo está en años y el Beneficio en millones de euros, el beneficio máximo es de $16$ millones y se obtiene a los $4$ años.