Problema 1 examen matemàtiques II 5 juny 2020

Dadas las matrices $$A = \left(\begin{array}{ccc}2-m & 1 & 2m-1\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{array}\right) , X = \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right) , B = \left(\begin{array}{c}2m^2-1\\ m\\ 1\end{array}\right)$$ considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $X^tA=B^t$, donde $X^t$ , $B^t$ denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de $m$

Expresamos matricialmente el sistema que se nos propone
$X^tA=B^t$

$$\left(
\begin{array}{ccc}
x & y & z
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
2-m & 1 & 2m-1
\\ 1 & m & 1
\\ m & 1 & 1
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
2m^2-1 & m & 1
\end{array}
\right)$$

Si lo pasamos a ecuaciones tendremos

$$\left.
\begin{array}{ccc}
(2-m)x+y+mz & = & 2m^2-1
\\ x+my+z & = & m
\\ (2m-1)x+y+z & = & 1
\end{array}
\right\}$$

Con lo cual la matriz de los coeficientes y la ampliada serán:

$$(A|A^*) = \left(
\begin{array}{ccc}
2-m & 1 & m
\\ 1 & m & 1
\\ 2m-1 & 1 & 1
\end{array}
\right. \left| \begin{array}{c}
2m^2-1 \\ m \\ 1 \end{array} \right)$$

Calculamos $det(A)$ por Sarrus
$$|A|=(2-m)m+m+2m-1-m^2(2m-1)-(2-m)-1$$
$$|A|= -2m^3+6m-4$$

$|A|=0 \Longleftrightarrow -2m^3+6m-4=0$
Podemos resolver la ecuación por Ruffini y obtenemos como soluciones:
$m=1$ y $m=-2$
Por tanto $|A|=0 \Longleftrightarrow m=1\ \mathrm{o}\ m=-2$

• $m \neq 1;\ m \neq -2 \Rightarrow |A| \neq 0 \Rightarrow rg(A)=rg(A^*)=3=\mathrm{nº incógnitas}\Longrightarrow\mathrm{SCD\ (Sistema\ Compatible\ Determinado)}$

• $m=1$
  $$(A|A^*) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right. \left| \begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$$

$$\left. \begin{array}{c}
rg(a)=rg(A^*)=1 <3=\mathrm{núm.\ de\ incógitas} \end{array} \right\} \Longrightarrow\mathrm{SCI\ (Sistema\ Incompatible\ Indeterminado)}$$

• $m=-2$

$$(A|A^*) = \left(
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & -2
\\ 1 & -2 & 1
\\ -5 & 1 & 1
\end{array}
\right. \left| \begin{array}{c}
7 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$$

$$\left| \begin{array}{cc}
4 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right|\neq 0 \Longrightarrow rg(A)=2$$

$$\left| \begin{array}{ccc}
4 & 1 & 7 \\ 1 & -2 & -2 \\ -5 & 1& 1 \end{array} \right|\neq 0 \Longrightarrow rg(A^*)=3$$

Como $rg(A)\not= rg(A^*) \Longrightarrow$ S.I. (Sistema Incompatible)

El resultado final de la discusión del sistema es:

• Si $m \neq 1$ y $m \neq -2 \Rightarrow$ S.C.D.
• Si $m=1 \Rightarrow$ S.C.I.
• Si $m=-2 \Rightarrow$ S.I.