Problema 2 examen matemàtiques II 5 juny 2020

Considera la recta $$r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$$y los planos $\pi_1 \equiv x=0$ y $\pi_2 \equiv y=0$

Halla los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$

Expresamos la recta $$r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$$ en ecuaciones paramétricas:
$$r \equiv \left\{\begin{array}{lll}
x=2-\lambda \\
y=2+3\lambda \\
z=1+\lambda
\end{array}
\right.$$

Cualquier punto $P$ de la recta $r$ se puede expresar de la forma:
$P \in r \longrightarrow P(2-\lambda, 2+3\lambda, 1+\lambda)$
Si está a la misma distancia de ambos planos:
$$d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)$$

Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano tendremos:
$$\frac{(2-\lambda) \cdot 1}{\sqrt{1^2}} = \frac{(2+3\lambda) \cdot 1}{\sqrt{1^2}} \Longrightarrow |2- \lambda| = |2+3\lambda|$$
La expresión anterior con valor absoluto da lugar a dos ecuaciones:
$$2-\lambda = 2 + 3 \lambda \longrightarrow \lambda=0$$
$$-(2-\lambda) = 2 + 3 \lambda \longrightarrow \lambda=-2$$
$$\lambda = 0 \longrightarrow P(2-0, 2+3\cdot 0, 1+0) \longrightarrow P(2,2,1)$$
$$\lambda = -2 \longrightarrow P(2-(-2), 2+3\cdot (-2), 1+(-2)) \longrightarrow P(4,-4,-1)$$

Determina la posición relativa de la recta $r$ y la recta de instersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$

Veamos la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. Para ello usaremos el método de los vectores, por tanto necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta
$$r \longrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v_r} = (-1,3,1) \\
P_r(2,2,1)
\end{array}
\right.$$

$$s \longrightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
x=0 & \qquad \vec{v_s} = (0,0,1) \\
y=0 & \qquad P_s(0,0,1)
\end{array}
\right.$$

Observa que todos los puntos de la recta $s$ son de la forma $(0,0,t)$, por ello, cualquier vector director también será de la forma $(0,0,t)$

$$\vec{v_r} = (-1,3,1)$$
$$\vec{v_s} = (0,0,1)$$
$$\vec{P_rP_s} = (-2,-2,0)$$

$$M = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
-2 & -2 & 0
\end{array}\right)$$

$$|M| = -8 \neq 0 \Longrightarrow rg(M)=3$$
Las rectas se cruzan