Problema 3 examen matemàtiques II 5 juny 2020

Determina un punto de la curva de ecuación $y = x e^{-x^2}$ en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.

Per calcular la pendent en funció d’$x$ haurem de fer la derivada:

$$y’ = 1\cdot e^{-x^2}+x\cdot e^{-x^2}\cdot(-2x)$$

Ordenant l’equació i traient factor comú ens queda:

$$y’ = e^{-x^2}\cdot(1-2x^2)$$

Per fer màxima la funció haurem de fer la derivada de l’eqaució anterior i igualar a zero:

$$4e^{-x^2}x^3-6e^{-x^2}x=0\longrightarrow \boxed{x=0,\:x=-\sqrt{\frac{3}{2}},\:x=\sqrt{\frac{3}{2}}}$$

Fent les comprovacions prèvies ens surt que el màxim és: $x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$