Problema 6 examen matemàtiques II 5 juny 2020

Considera las matrices: $$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)\qquad y \qquad B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$

¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa?

No hay $A^{-1}$ cuando $|A| = 0$

$$|A|=\lambda^2+1 = 0$$

No hay soluciones reales, por tanto no hay ningún valor real de $\lambda$ para el que $A$ no tenga inversa.

Para $\lambda=1$, resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$.

$$A^{-1}XA = B$$

$$AA^{-1}XAA^{-1} = ABA^{-1}$$

$$X = ABA^{-1}$$

$$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & 1/2 & -1/2 \cr 0 & 1/2 & 1/2 \end{array}\right)$$

$$X = ABA^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}0 & 1/2 & 1/2\cr 1 & 1/2 & -1/2 \cr -1 & 1/2 & -1/2 \end{array}\right)$$