Problema 1. Examen selectivitat Matemàtiques II País Valencià Juny 2024

Es considera el següent sistema d’equacions lineals que depèn d’un paràmetre real $m$: $$\begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + m y – z = 3m\\ (m-1)x + 3y – z = 6 + m\end{cases}$$ Es demana: a) Discutir el sistema en funció dels valors del paràmetre $m$. b) Per als valors de $m$ per als quals el sistema és compatible indeterminat, trobar la solució.

El sistema d’equacions es pot escriure en forma matricial com:

$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
2 & m & -1 \\
m – 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m \\
3m \\
6 + m
\end{pmatrix}$$

Per analitzar la compatibilitat i el tipus de solució del sistema, calculem el determinant de la matriu dels coeficients. La matriu dels coeficients és:

$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
2 & m & -1 \\
m – 1 & 3 & -1
\end{pmatrix}$$

El determinant de la matriu $A$ és:

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & m & -1 \\ m-1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$

Calculant aquest determinant, desenvolupant per la primera fila, obtenim:

$$\text{det}(A) = -1 \begin{vmatrix} m & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ m-1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & m \\ m-1 & 3 \end{vmatrix}$$

Calculant les subdeterminants:

$$\begin{vmatrix} m & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 3 – m$$

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ m-1 & -1 \end{vmatrix} = m – 3$$

$$\begin{vmatrix} 2 & m \\ m-1 & 3 \end{vmatrix} = -m^2 + m + 6$$

Substituïm aquestes subdeterminants a l’expressió original:

$$\text{det}(A) = -1(3 – m) – 1(m – 3) + 1(-m^2 + m + 6)$$

$$\text{det}(A) = -3 + m – m + 3 – m^2 + m + 6$$

$$\text{det}(A) = -m^2 + m + 6$$

Per tant, el determinant de la matriu és:

$$\text{det}(A) = -m^2 + m + 6$$

Ara resolem l’equació $\text{det}(A) = 0$ per trobar els valors de $m$ que podrien conduir a un sistema compatible indeterminat o inconsistent:

$$-m^2 + m + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad m^2 – m – 6 = 0$$

Resolent aquesta equació quadràtica per la fórmula general:

$$m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$

Obtenim dues solucions:

$$m = 3 \quad \text{o} \quad m = -2$$

Per tant, el determinant de la matriu és zero quan $m = 3$ o $m = -2$. Això indica que el sistema podria ser compatible indeterminat o inconsistent en aquests valors de $m$. Hem de continuar analitzant la compatibilitat del sistema per aquests valors.

Cas 1: $m = 3$

Substituïm $m = 3$ a les equacions del sistema:

$$\begin{cases}
-x + y + z = 3 \\
2x + 3y – z = 9 \\
2x + 3y – z = 9
\end{cases}$$

Les dues últimes equacions són idèntiques, així que el sistema es redueix a dues equacions independents. La primera equació es pot escriure com:

$$-x + y + z = 3 \quad \Rightarrow \quad x = y + z – 3$$

Substituïm aquesta expressió de $x$ a la segona equació:

$$2(y + z – 3) + 3y – z = 9$$

Simplifiquem:

$$2y + 2z – 6 + 3y – z = 9 \quad \Rightarrow \quad 5y + z = 15$$

D’aquí obtenim:

$$z = 15 – 5y$$

Ara substituïm aquesta expressió de $z$ a l’expressió de $x$:

$$x = y + (15 – 5y) – 3 = y + 15 – 5y – 3 = -4y + 12$$

Per tant, la solució general per $m = 3$ en funció de $y$ és:

\begin{equation}
x = -4y + 12, \quad z = 15 – 5y
\end{equation}

Cas 2: $m = -2$

Substituïm $m = -2$ a les equacions del sistema:

$$\begin{cases}
-x + y + z = -2 \\
2x – 2y – z = -6 \\
-3x + 3y – z = 4
\end{cases}$$

Escrivim aquest sistema en forma matricial:

$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
2 & -2 & -1 \\
-3 & 3 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2 \\
-6 \\
4
\end{pmatrix}$$

Calcularem el determinant de la matriu dels coeficients $A$:

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \\ -3 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$

Desenvolupem pel primer element de la primera fila:

$$\text{det}(A) = -1 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 3 \end{vmatrix}$$

Calculant les subdeterminants:

$$\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 5$$

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -5$$

$$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = 0$$

Així que el determinant de $A$ és:

$$\text{det}(A) = -1(5) – 1(-5) + 1(0) = 0$$

Com que el determinant és zero, calculem la matriu augmentada per verificar si el sistema és compatible o inconsistent. La matriu augmentada és:

$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & -2 \\
2 & -2 & -1 & -6 \\
-3 & 3 & -1 & 4
\end{pmatrix}$$

Pas 1: Intercanviem la fila 1 i la fila 2 per evitar tenir un 0 a la primera fila, primera columna:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & -1 & -6 \\
-1 & 1 & 1 & -2 \\
-3 & 3 & -1 & 4
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Fer 0 sota el primer element de la primera columna

Per eliminar els elements sota el primer element de la primera columna, sumem 3 vegades la primera fila a la tercera fila, i sumem la primera fila a la segona fila.

1. $F_2 \rightarrow F_2 + \frac{1}{2} F_1$
2. $F_3 \rightarrow F_3 + \frac{3}{2} F_1$

L’operació a la segona fila:

$$F_2 \rightarrow F_2 + \frac{1}{2} F_1 \quad \Rightarrow \quad \left( -1 + 2, \ 1 – 2, \ 1 + \left(-\frac{1}{2}\right), \ -2 + \left(-3\right)\right) = \left( 1, -1, \frac{1}{2}, -8\right)$$

L’operació a la tercera fila:

$$F_3 \rightarrow F_3 + \frac{3}{2} F_1 \quad \Rightarrow \quad \left( -3 + 3, \ 3 – 3, -1 + \left(-\frac{3}{2}\right), 4 + (-9) \right) = \left( 0, 0, \frac{1}{2}, -5\right)$$

La matriu augmentada és:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & -1 & -6 \\
1 & -1 & \frac{1}{2} & -8 \\
0 & 0 & \frac{1}{2} & -5
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Fer 0 a la segona fila, tercera columna

Ara, podem eliminar el tercer element de la segona fila. Per això, restem la tercera fila a la segona fila multiplicada per $2$:

$$F_2 \rightarrow F_2 – 2F_3$$

Aquesta operació a la segona fila és:

$$\left( 1 – 0, \ -1 – 0, \frac{1}{2} – 2 \times \frac{1}{2}, \ -8 – 2 \times (-5) \right) = (1, -1, 0, 2)$$

Així, obtenim la matriu augmentada:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & -1 & -6 \\
1 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & \frac{1}{2} & -5
\end{pmatrix}$$

Pas 4: Simplificar la tercera fila

Multipliquem la tercera fila per 2 per obtenir un 1 al lloc de la tercera columna:

$$F_3 \rightarrow 2F_3$$

Així obtenim:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & -1 & -6 \\
1 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -10
\end{pmatrix}$$

Pas 5: Eliminar el tercer element de la primera fila i la segona fila

Eliminem el tercer element de la primera i la segona fila, sumant la tercera fila a la primera i la segona fila:

1. $F_1 \rightarrow F_1 + F_3$
2. $F_2 \rightarrow F_2$

L’operació a la primera fila:

$$F_1 \rightarrow F_1 + F_3 \quad \Rightarrow \quad (2 + 0, \ -2 + 0, \ -1 + 1, \ -6 + (-10)) = (2, -2, 0, -16)$$

La segona fila es manté igual:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & -16 \\
1 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -10
\end{pmatrix}$$

Pas 6: Eliminar el primer element de la primera fila

Ara simplifiquem la primera fila. Multipliquem la segona fila per $-2$ i afegim-la a la primera fila per eliminar el primer element de la primera fila:

$$F_1 \rightarrow F_1 + (-2) F_2$$

Aquesta operació ens dóna la següent matriu augmentada:

$$\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -58 \\
1 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -10
\end{pmatrix}$$

La matriu augmentada final conté una fila que representa una contradicció:

$$0x + 0y + 0z = -58$$

Aquesta contradicció implica que el sistema és incompatible per $m = -2$.

Conclusió final

• El sistema és compatible indeterminat per $m = 3$, amb solució en funció de $y = \lambda$:
  $$\boxed{x = -4\lambda + 12, \quad y = \lambda, \quad z = 15 – 5\lambda}$$
• El sistema és incompatible per $m = -2$.