Problema 3. Examen selectivitat Matemàtiques II País Valencià Juny 2024

Es considera la recta $r$: $$\frac{x – 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1}$$ i el pla $\pi$: $$3x – my + z = 1$$ Es demana: a) Determinar el valor del paràmetre real $m$ perquè $r$ i $\pi$ siguin paral·lels. Obtenir a més els valors de $m$ per als quals el pla $\pi$ conté la recta $r$. b) Per als valors $m$ de l’apartat anterior, trobar un pla paral·lel a $\pi$, que contingui la recta $r$. c) Calcular, en funció de $m$, la distància entre $\pi$ i el punt $P = (1, -1, -2)$.

a) Determinar el valor del paràmetre real $m$ perquè $r$ i $\pi$ siguin paral·lels. Obtenir a més els valors de $m$ per als quals el pla $\pi$ conté la recta $r$

La recta $r$ està donada per:

$$\frac{x – 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1}$$

Podem escriure aquesta expressió de forma paramètrica:

$$x = 1 + 2t, \quad y = -1 + 3t, \quad z = -2 – t$$

on $t$ és el paràmetre de la recta. El vector directiu de la recta és $\mathbf{v} = (2, 3, -1)$.

L’equació del pla $\pi$ és:

$$3x – my + z = 1$$

El vector normal al pla és $\mathbf{n} = (3, -m, 1)$.

Condició de paral·lelisme

La recta $r$ i el pla $\pi$ són paral·lels si el producte escalar entre el vector directiu $\mathbf{v}$ i el vector normal $\mathbf{n}$ és zero. El producte escalar és:

$$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-m) + (-1) \cdot 1 = 6 – 3m – 1 = 5 – 3m$$

Perquè siguin paral·lels, hem de tenir:$$5 – 3m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{5}{3}$$

Condició perquè el pla contingui la recta

Perquè el pla contingui la recta, el producte escalar entre $\mathbf{v}$ i $\mathbf{n}$ ha de ser zero. Ja hem obtingut aquesta condició per $m = \frac{5}{3}$.

A més, per verificar que la recta està en el pla quan $m = \frac{5}{3}$, substituïm el punt $P(1, -1, -2)$ de la recta a l’equació del pla $\pi$:

$$3(1) – \frac{5}{3}(-1) + (-2) = 1 + \frac{5}{3} – 2 = 1 + \frac{5}{3} – \frac{6}{3} = \frac{5}{3} – \frac{6}{3} = \frac{-1}{3}$$

Com que $\frac{-1}{3} \neq 1$, el pla no conté la recta quan $m = \frac{5}{3}$.

b) Trobar un pla paral·lel a $\pi$ que contingui la recta $r$.

Un pla paral·lel a $\pi$ té la mateixa normal $\mathbf{n} = (3, -m, 1)$, però el valor de $m$ no necessita ser el mateix que per a la recta paral·lela al pla original. Per obtenir l’equació d’un pla paral·lel que contingui la recta $r$, utilitzem el punt $P(1, -1, -2)$ de la recta.

L’equació d’un pla amb normal $\mathbf{n} = (3, -m, 1)$ passant pel punt $P(1, -1, -2)$ és:

$$3(x – 1) – m(y + 1) + (z + 2) = 0$$

Aquesta és l’equació d’un pla paral·lel a $\pi$ que passa per la recta.

c) Calcular la distància entre el pla $\pi$ i el punt $P(1, -1, -2)$.

La fórmula per calcular la distància entre un punt $P(x_1, y_1, z_1)$ i un pla $Ax + By + Cz + D = 0$ és:

$$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Per al pla $\pi$ amb equació $3x – my + z = 1$, els coeficients són $A = 3$, $B = -m$, $C = 1$, i $D = -1$.

Substituïm el punt $P(1, -1, -2)$ a la fórmula de la distància:

$$d = \frac{|3(1) – m(-1) + 1(-2) – 1|}{\sqrt{3^2 + (-m)^2 + 1^2}} = \frac{|3 + m – 2 – 1|}{\sqrt{9 + m^2 + 1}} = \frac{|m|}{\sqrt{m^2 + 10}}$$

Per tant, la distància entre el pla $\pi$ i el punt $P(1, -1, -2)$ és:

$$d = \frac{|m|}{\sqrt{m^2 + 10}}$$