Problema distància focal i potència

Utilitzem una lupa de taula per llegir un paper situat sobre l’escriptori. El suport de la lent fixa la distància entre la lent i el paper en $10$ cm, creant un augment lateral de $2$. a) Quina és la distància focal de la lent? Calcula la seva potència. L’habitació està il·luminada per una làmpada que penja del sostre i que es troba just sobre nostre. Observem que hem de situar la lupa just a $22$ cm de la taula per crear la imatge de la làmpada al paper. b) Quina és la distància entre la superfície de l’escriptori i la làmpada?

Sabem que l’objecte, paper, és a 10 cm de la lent, $s = -10 \, \text{cm}$. Per trobar on es forma la imatge utilitzem l’equació de la lent: \begin{equation} \frac{1}{s} – \frac{1}{s’} = \frac{1}{f} \end{equation} L’augment lateral és la relació entre l’alçada de la imatge i de l’objecte: \begin{equation} \beta = \frac{y’}{y} \end{equation} Igualment, com que els triangles són iguals, també és la relació entre les posicions de la imatge i l’objecte: \begin{equation} \beta = \frac{y’}{y} = \frac{s’}{s} \end{equation} Ens diuen que l’augment lateral és 2: \begin{equation} \beta = \frac{y’}{y} = \frac{s’}{s} = 2 \end{equation} Per tant, \begin{equation} s’ = 2s = 2(-10) = -20 \, \text{cm} \end{equation} Introduint els valors a l’equació de la lent: \begin{equation} \frac{1}{-20} – \frac{1}{-10} = \frac{1}{f} \end{equation} Per tant: \begin{equation} \frac{1}{-20} – \frac{1}{-10} = \frac{-10 – 20}{200} = \frac{-30}{200} = \frac{1}{f} \end{equation} La distància focal de la lent és: \begin{equation} f = 20 \, \text{cm} \end{equation} La potència d’una lent (en diòptries) és la inversa de la distància focal (en metres). Per tant: \begin{equation} P = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,2} = 5 \, \text{D} \end{equation}