Problema inferència estadística. Problema sobre alcohol en vi

La enòloga d’una bodega ha determinat que el percentatge d’alcohol present en les seves ampolles de vi segueix una distribució normal amb una desviació típica de $0,53~\%$. Una mostra de $120$ ampolles, escollides a l’atzar, arroja un valor promig per al percentatge d’alcohol per ampolla de $12,05~\%$. a) Obtingueu l’interval de confiança del $95~\%$ per al valor promig del percentatge d’alcohol per ampolla. b) Quin és el nombre mínim d’ampolles que caldria considerar perquè l’error comès en estimar el valor mitjà del percentatge d’alcohol per ampolla, amb un nivell de confiança del $97,5~\%$, fos de $0,1~\%$?

a) Sigui \(X\) la variable aleatòria que mesura el percentatge d’alcohol present a les ampolles de vi d’una determinada bodega, on \(X \sim N(\mu; 0,53)\).

Tenim una mostra aleatòria: \[ n = 120 \text{ ampolles}, \quad \bar{x} = 12,05, \quad \sigma = 0,53 \] Per a una confiança del $95~\%$, el nivell de confiança és \(1 – \alpha = 0,95 \rightarrow \alpha = 0,05\).

Sabem que: \[ P\left(Z \leq Z_{\alpha/2}\right) = 1 – \frac{\alpha}{2} = 0,975 \rightarrow \text{per tant, } Z_{\alpha/2} = Z_{0,025} = 1,96 \] L’interval de confiança ve donat per: \[ IC = \left( \bar{x} – Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right), \] essent \(\sigma\) la desviació típica poblacional, \(n\) la mida muestral, i \(Z_{\alpha/2}\) el valor corresponent a la taula normal per a una confiança \(1 – \alpha\).\\ Calculem l’interval de confiança: \[ IC_{0,95}(\mu) = \left( 12,05 – 1,96 \cdot \frac{0,53}{\sqrt{120}}, \, 12,05 + 1,96 \cdot \frac{0,53}{\sqrt{120}} \right) = (11,9552; 12,1448) \] b) Per a una confiança del $97,5~\%$, el nivell de confiança és \(1 – \alpha = 0,975 \rightarrow \alpha = 0,025\).

Sabem que: \[ P\left(Z \leq Z_{\alpha/2}\right) = 1 – \frac{\alpha}{2} = 0,9875 \rightarrow \text{per tant, } Z_{\alpha/2} = Z_{0,0125} = 2,24 \] L’error ve donat per: \[ E = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \rightarrow Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0,1 \rightarrow n > \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \] Substituint: \[ n > \left( \frac{2,24 \cdot 0,53}{0,1} \right)^2 \rightarrow n > 140,94 \] Per tant, la mida mínima que ha de tenir la mostra ha de ser de 141 ampolles.