Moment d’inèrcia de dues masses. Massa reduïda

Calculeu el moment d’inèrcia format per dues partícules de diferents masses, respecte l’eix perpendicular a la recta que els uneix i passa pel centre de masses. Expresseu el moment en funció de la massa reduïda

Siguin $m_1$ i $m_2$ dues masses situades a les posicions $r_1$ i $r_2$ respecte a un punt $C$. Les posicions d’aquestes masses es defineixen com:

$$r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} r, \quad r_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} r$$

on $r = r_1 + r_2$.

El moment d’inèrcia respecte a l’eix que passa per $C$ és:

$$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$$

Substituint els valors de $r_1$ i $r_2$:

$$I = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} r^2 = \mu r^2$$

on $\mu$ és la massa reduïda:

$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$

Si considerem un sistema format per dues masses iguals unides rígidament entre si, el moment d’inèrcia es calcula de manera similar.