Problema sòlid rígid. Moment d’inèrcia de tres masses unides per una vareta

Considerem tres masses $m_1$, $m_2$ i $m_3$ separades per una distància igual a $l$, unides per una vareta de massa despreciable. a) Càlcul del moment d’inèrcia respecte a un eix que passa per $m_2$ b) Càlcul del moment d’inèrcia respecte a un eix que passa per $m_1$

a) Càlcul del moment d’inèrcia respecte a un eix que passa per $m_2$

El moment d’inèrcia respecte a un eix que passa per la massa $m_2$ és:
\begin{equation}
I_2 = m_1 l^2 + m_3 l^2 = (m_1 + m_3) l^2.
\end{equation}

b) Càlcul del moment d’inèrcia respecte a un eix que passa per $m_1$

El moment d’inèrcia respecte a un eix que passa per la massa $m_1$ és:
\begin{equation}
I_1 = m_2 l^2 + m_3 (2l)^2 = m_2 l^2 + 4m_3 l^2.
\end{equation}

Diferència respecte a l’anterior:
\begin{equation}
\Delta I = (m_2 l^2 + 4m_3 l^2) – (m_1 + m_3) l^2 = (m_2 – m_1 + 3m_3) l^2.
\end{equation}

Si imposem $m_2 = m_3$, obtenim:
\begin{equation}
I = (4m_3 – m_1) l^2.
\end{equation}