Matrius i discussió sistemes d’equacions segon paràmetre

Pregunta 2.1. Es consideren les matrius \( A \) i \( B \) donades per:\[A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -100 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\] a) Calcula la matriu \( D \) tal que \( B(D^t + A^{-1})B^{-1} = 2I \), on \( I \) és la matriu identitat de mida \( 2 \times 2 \). b) La matriu \( A \) verifica la igualtat \( A^2 = A + 2I \). Calcula \( A^4 \).

Pregunta 2.2 Es considera el següent sistema d’equacions lineals dependent del paràmetre real \( a \):\[\begin{cases}x – y + z = -1 \\ax + (-a + 2)y = 2 \\2x – (a + 3)y + (a + 2)z = -5\end{cases}\] a) Discuteix el sistema en funció dels valors del paràmetre \( a \). b) Resol el sistema d’equacions per a \( a = 1 \).

2. 1 .a) De la igualtat \( B(D^t + A^{-1})B^{-1} = 2I \) s’obté que \( D^t = 2I – A^{-1} \). Així:\[D^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1/2 & 3/2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & -3/2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\Rightarrow D = \begin{pmatrix} 3/2 & 0 \\ -3/2 & 3 \end{pmatrix}\]

2.1.b) La matriu \( A \) verifica la igualtat \( A^2 = A + 2I \). Per tant:\[A^4 = A^2 \cdot A^2 = (A + 2I)(A + 2I) = A^2 + 4I + 4A = 5A + 6I = \begin{pmatrix} 16 & 15 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

2.2.a) \( |A| = -a^2 + a = 0 \iff a = 0, a = 1 \)- Si \( a \ne 1, 0 \Rightarrow \text{Rg}(A) = \text{Rg}(A|B) = 3 \Rightarrow \) Sistema Compatible Determinat.- Si \( a = 0 \):\[(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 2 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{f_3 – 2f_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{f_3 + \frac{1}{2} f_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\]\[\Rightarrow \text{Rg}(A) = 2 \ne \text{Rg}(A|B) = 3 \Rightarrow \text{Sistema Incompatible}\]- Si \( a = 1 \):\[(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & -3 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{f_2 – f_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -3 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{f_3 – 2f_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}\]\[\Rightarrow \text{Rg}(A) = 2 = \text{Rg}(A|B) = 2 \Rightarrow \text{Sistema Compatible Indeterminat}\]

2.2.b) \[(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & -3 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{f_2 – f_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -3 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{f_3 – 2f_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}\]D’aquí s’obté: \[z = 2y – 3,\quad x = 2 – y\]Per tant, la solució és: \[\boxed{y = \lambda,\quad x = 2 – \lambda,\quad z = 2\lambda – 3}\]