Числа и алгебра

Обсудите, в зависимости от значений параметра \( m \), следующую систему:\[\begin{cases}mx + (m + 2)y + z = 3 \\2mx + 3my + 2z = 5 \\(m – 4)y + mz = m\end{cases}\]

Матрицы коэффициентов и расширенная матрица:\[A = \begin{pmatrix}m & m + 2 & 1 \\2m & 3m & 2 \\0 & m – 4 & m\end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix}m & m + 2 & 1 & 3 \\2m & 3m & 2 & 5 \\0 & m – 4 & m & m\end{pmatrix}\]Определитель матрицы \( A \):\[\boxed{\det A} = m^3 + 2m^2 – 8m – 2m^3 + 8m – 2m^2 – 4m^2 = m^3 – 4m^2 = m^2(m – 4) = 0 \Rightarrow m = 0, \, m = 4\]- Если \( m \neq 0 \) и \( m \neq 4 \), то \( \text{rg} A = 3 = \text{rg} A^* = n \), где \( n \) — число неизвестных. Тогда, по теореме Руше-Фробениуса, система имеет единственное решение.- Если \( m = 0 \), то расширенная матрица:\[A^* = \begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 3 \\0 & 0 & 2 & 5 \\0 & -4 & 0 & 0\end{pmatrix} \xrightarrow{f_3 + 2f_1} \begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 3 \\0 & 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 2 & 6\end{pmatrix} \xrightarrow{f_3 – f_2} \begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 3 \\0 & 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]Третья строка соответствует уравнению \( 0 = 1 \), что является противоречием. Следовательно, система несовместна.- Если \( m = 4 \), то расширенная матрица:\[A^* = \begin{pmatrix}4 & 6 & 1 & 3 \\8 & 12 & 2 & 5 \\0 & 0 & 4 & 4\end{pmatrix} \xrightarrow{f_2 – 2f_1} \begin{pmatrix}4 & 6 & 1 & 3 \\0 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 4 & 4\end{pmatrix}\]Вторая строка соответствует уравнению \( 0 = -1 \), что является противоречием. Следовательно, система несовместна.