Matriu inversa i sistema d’equacions

a) Per a quins valors de \( b \) la matriu \( B = \begin{pmatrix} b & 1 & 4 \\ 1 & b & 1 \\ 4 & 1 & b \end{pmatrix} \) és invertible i per què? b) DONAT el sistema d’equacions lineal\[\begin{cases}x + y + z = 3 \\2x – y + z = 4 \\x + 3y – z = 2\end{cases}\]- Escriu el sistema en forma matricial.

– Aplica el Teorema de Rouche-Frobenius per saber si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible i troba la solució o solucions si és possible.

a) Per a quins valors de \( b \) la matriu \( B \) és invertible i per què?

Una matriu és invertible si el seu determinant és diferent de zero (\( \det(B) \neq 0 \)). Per tant, hem de calcular el determinant de la matriu \( B \) i trobar els valors de \( b \) que fan que aquest determinant sigui diferent de zero.La matriu donada és:\[B = \begin{pmatrix}b & 1 & 4 \\1 & b & 1 \\4 & 1 & b\end{pmatrix}\]Calculem el determinant de \( B \) utilitzant l’expansió per la primera fila:\[\det(B) = b \begin{vmatrix} b & 1 \\ 1 & b \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & b \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & b \\ 4 & 1 \end{vmatrix}\]

– Primer terme: \( \begin{vmatrix} b & 1 \\ 1 & b \end{vmatrix} = b \cdot b – 1 \cdot 1 = b^2 – 1 \), per tant, \( b (b^2 – 1) = b^3 – b \).

– Segon terme: \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & b \end{vmatrix} = 1 \cdot b – 1 \cdot 4 = b – 4 \), per tant, \( -1 (b – 4) = -b + 4 \).

– Tercer terme: \( \begin{vmatrix} 1 & b \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – b \cdot 4 = 1 – 4b \), per tant, \( 4 (1 – 4b) = 4 – 16b \).

Ara sumem tots els termes:\[\det(B) = (b^3 – b) – (b – 4) + (4 – 16b)\]\[= b^3 – b – b + 4 + 4 – 16b\]\[= b^3 – 18b + 8\]

Perquè la matriu sigui invertible, el determinant ha de ser diferent de zero:\[b^3 – 18b + 8 \neq 0\]Hem de trobar els valors de \( b \) que fan que \( b^3 – 18b + 8 = 0 \). Aquesta és una equació cúbica, i per resoldre-la podem intentar trobar arrels racionals utilitzant el teorema de les arrels racionals. Les possibles arrels racionals són factors de 8 dividits per factors de 1, és a dir: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).Provem algunes:

– Per \( b = 2 \):\[2^3 – 18 \cdot 2 + 8 = 8 – 36 + 8 = -20 \neq 0\]

– Per \( b = -2 \):\[(-2)^3 – 18 \cdot (-2) + 8 = -8 + 36 + 8 = 36 \neq 0\]

– Per \( b = 1 \):\[1^3 – 18 \cdot 1 + 8 = 1 – 18 + 8 = -9 \neq 0\]

– Per \( b = 4 \):\[4^3 – 18 \cdot 4 + 8 = 64 – 72 + 8 = 0\]Hem trobat una arrel: \( b = 4 \). Ara podem factoritzar el polinomi \( b^3 – 18b + 8 \) dividint-lo entre \( (b – 4) \). Utilitzem la divisió de Ruffini:\[\begin{array}{r|rrrr}4 & 1 & 0 & -18 & 8 \\ & & 4 & 16 & -8 \\\hline & 1 & 4 & -2 & 0 \\\end{array}\]El quocient és \( b^2 + 4b – 2 \), per tant:\[b^3 – 18b + 8 = (b – 4)(b^2 + 4b – 2)\]Ara resolem \( b^2 + 4b – 2 = 0 \):\[b = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}\]Les arrels de \( b^3 – 18b + 8 = 0 \) són \( b = 4 \), \( b = -2 + \sqrt{6} \), i \( b = -2 – \sqrt{6} \). Per tant, la matriu \( B \) és invertible per a tots els valors de \( b \) excepte aquests:\[b \neq 4, \quad b \neq -2 + \sqrt{6}, \quad b \neq -2 – \sqrt{6}\]

b) Sistema d’equacions lineal. El sistema donat és:\[\begin{cases}x + y + z = 3 \\2x – y + z = 4 \\x + 3y – z = 2\end{cases}\]

1. Escriu el sistema en forma matricial. La forma matricial d’un sistema d’equacions lineals és \( AX = B \), on \( A \) és la matriu de coeficients, \( X \) és el vector de variables, i \( B \) és el vector de termes independents.

– Matriu de coeficients \( A \):\[A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 & -1 & 1 \\1 & 3 & -1\end{pmatrix}\]- Vector de variables \( X \):\[X = \begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}\]

– Vector de termes independents \( B \):\[B = \begin{pmatrix}3 \\4 \\2\end{pmatrix}\]Per tant, el sistema en forma matricial és:\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 & -1 & 1 \\1 & 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\4 \\2\end{pmatrix}\]

2. Aplica el Teorema de Rouche-Frobenius per saber si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible i troba la solució si és possible. El Teorema de Rouche-Frobenius diu que un sistema \( AX = B \) és:

– Compatible determinat (una única solució) si \( \text{rang}(A) = \text{rang}(A|B) = n \), on \( n \) és el nombre de variables.- Compatible indeterminat (infinitat de solucions) si \( \text{rang}(A) = \text{rang}(A|B) < n \).

– Incompatible (sense solució) si \( \text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|B) \).Aquí tenim 3 variables (\( x, y, z \)), per tant \( n = 3 \).Primer calculem el rang de la matriu \( A \). Per fer-ho, calculem el determinant de \( A \):\[\det(A) = 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\]

– Primer terme: \( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) – 1 \cdot 3 = 1 – 3 = -2 \), per tant, \( 1 \cdot (-2) = -2 \).

– Segon terme: \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -2 – 1 = -3 \), per tant, \( -1 \cdot (-3) = 3 \).

– Tercer terme: \( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7 \), per tant, \( 1 \cdot 7 = 7 \).\[\det(A) = -2 + 3 + 7 = 8\]Com que \( \det(A) \neq 0 \), el rang de \( A \) és 3 (ja que \( A \) és una matriu \( 3 \times 3 \)). Ara calculem el rang de la matriu ampliada \( A|B \):\[A|B = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & 3 \\2 & -1 & 1 & | & 4 \\1 & 3 & -1 & | & 2\end{pmatrix}\]Com que el rang de \( A \) ja és 3, i \( A|B \) té una columna més però només pot tenir un rang màxim de 3 (perquè té 3 files), el rang de \( A|B \) també és 3.Per tant, \( \text{rang}(A) = \text{rang}(A|B) = 3 \), i com que \( n = 3 \), el sistema és compatible determinat (té una única solució). Trobem la solució: Podem resoldre el sistema utilitzant el mètode de substitució o eliminació. Utilitzem eliminació:

1. De la primera equació: \( x + y + z = 3 \), podem aïllar \( z \):\[z = 3 – x – y\]

2. Substituïm \( z \) a la segona equació \( 2x – y + z = 4 \):\[2x – y + (3 – x – y) = 4\]\[2x – y + 3 – x – y = 4\]\[x – 2y + 3 = 4\]\[x – 2y = 1 \quad (1)\]

3. Substituïm \( z \) a la tercera equació \( x + 3y – z = 2 \):\[x + 3y – (3 – x – y) = 2\]\[x + 3y – 3 + x + y = 2\]\[2x + 4y – 3 = 2\]\[2x + 4y = 5 \quad (2)\]Ara tenim el sistema:\[\begin{cases}x – 2y = 1 \quad (1) \\2x + 4y = 5 \quad (2)\end{cases}\]De (1), aïllem \( x \):\[x = 1 + 2y\]Substituïm a (2):\[2(1 + 2y) + 4y = 5\]\[2 + 4y + 4y = 5\]\[8y = 3\]\[y = \frac{3}{8}\]Substituïm \( y \) a \( x = 1 + 2y \):\[x = 1 + 2 \cdot \frac{3}{8} = 1 + \frac{6}{8} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\]Substituïm \( x \) i \( y \) a \( z = 3 – x – y \):\[z = 3 – \frac{7}{4} – \frac{3}{8} = 3 – \frac{14}{8} – \frac{3}{8} = 3 – \frac{17}{8} = \frac{24}{8} – \frac{17}{8} = \frac{7}{8}\]Per tant, la solució és:\[x = \frac{7}{4}, \quad y = \frac{3}{8}, \quad z = \frac{7}{8}\]

Resposta final:

a) La matriu \( B \) és invertible per a tots els valors de \( b \) excepte \( b = 4 \), \( b = -2 + \sqrt{6} \), i \( b = -2 – \sqrt{6} \), perquè en aquests valors el determinant és zero.

b) – Forma matricial:\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\2 & -1 & 1 \\1 & 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\4 \\2\end{pmatrix}\]

– El sistema és compatible determinat, i la solució és \( x = \frac{7}{4} \), \( y = \frac{3}{8} \), \( z = \frac{7}{8} \).