Opruga, šipka i paket

Šipka mase $m = 8 \, \text{kg}$ i dužine $L = 2 \, \text{m}$ može da rotira oko svoje srednje tačke OO bez trenja — vidi sliku 1.75.

Jedan kraj šipke je pričvršćen za oprugu konstantne sile $k = 400 \, \text{N/m}$, dok se na drugom kraju nalazi mali paket mase $M = 5 \, \text{kg}$. Pretpostavlja se da je paket dobro pričvršćen za šipku i da je šipka horizontalna kada je sistem u ravnoteži.

a) Koliko iznosi početno istezanje opruge?

b) Nađite period $T$ malih oscilacija sistema.

c) Ako je ugaona amplituda oscilacija $\Theta = 0{,}10 \, \text{rad}$, kolika su maksimalna brzina i ubrzanje koje će dostići paket?

d) Ako paket samo leži na šipki, a nije vezan za nju, koliku maksimalnu ugaonu amplitudu šipka može imati a da paket ne izgubi kontakt sa njom?

e) Vraćajući se na deo (b): koliki bi bio period oscilacija istog sistema ako se na drugi kraj šipke doda još jedna opruga konstante $k’ = 2k$ — tako da šipka ostane u ravnoteži u horizontalnom položaju?

a) Koliko iznosi početno istezanje opruge?

\begin{equation}
\Delta x = \frac{Mg}{k} = \frac{5 \cdot 9{,}8}{400} = 0{,}1225 \, \text{m} \Rightarrow \Delta x = 12{,}26 \, \text{cm}
\end{equation}

b) Nađite period $T$ malih oscilacija sistema.

\begin{equation}
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{m + 3M}{3k} } = 2\pi \sqrt{ \frac{8 + 15}{1200} } = 0{,}8699 \, \text{s}
\end{equation}

c) Ako je ugaona amplituda oscilacija $\Theta = 0{,}10 \, \text{rad}$, kolika su maksimalna brzina i ubrzanje koje će dostići paket?

\begin{equation}
v_{\text{maks}} = \frac{L}{2} \cdot \omega \cdot \Theta = 0{,}7223 \, \text{m/s}
\end{equation}

\begin{equation}
a_{\text{maks}} = \frac{L}{2} \cdot \omega^2 \cdot \Theta = 5{,}217 \, \text{m/s}^2
\end{equation}

d) Ako paket samo leži na šipki, a nije vezan za nju, koliku maksimalnu ugaonu amplitudu šipka može imati, a da paket ne izgubi kontakt sa njom?

\begin{equation}
\Theta_{\text{maks}} = \frac{2g}{\omega^2 L} = 0{,}1880 \, \text{rad} \Rightarrow \text{oko } 10{,}77^\circ
\end{equation}

e) Koliki bi bio novi period oscilacija ako se na drugi kraj šipke doda još jedna opruga konstante $k’ = 2k$, tako da šipka ostane u ravnoteži u horizontalnom položaju?

\begin{equation}
T’ = 2\pi \sqrt{ \frac{m + 3M}{3(k + k’)} } = 2\pi \sqrt{ \frac{m + 3M}{3(k + 2k)} } = \frac{T}{\sqrt{3}} = 0{,}5022 \, \text{s}
\end{equation}