Pèndol físic

A la figura 1.9 es mostra un pèndol físic format per un sòlid rígid de forma arbitrària, suspès d’un punt $O$ i sotmès a l’acció de la gravetat. El centre de massa del sòlid es troba al punt $C$, a una distància $h$ del punt de suspensió $O$. Si el sòlid es desplaça un angle $\theta$ respecte a la vertical, el moment de força respecte al punt $O$ és igual a:

$$M = -I \ddot{\theta}$$

Càlcul del moment d’inèrcia del pèndol físic respecte a $O$. Les forces externes que actuen sobre el sòlid són el seu pes, que actua al centre de massa $C$, i la força de reacció a l’eix de suspensió $O$. Si el sòlid es desplaça un angle $\theta$ respecte a la vertical, el moment de força respecte a $O$ és:

$$M = -mgh \sin \theta$$

Aquest és el moment de força respecte a $O$, val.

$$M = I \ddot{\theta}$$

on $I$ és el moment d’inèrcia del sòlid respecte a l’eix de rotació que passa per $O$. Si l’angle $\theta$ és petit, podem aproximar $\sin \theta \approx \theta$, i l’equació del moviment esdevé:

$$I \ddot{\theta} + mgh \theta = 0$$

$$\ddot{\theta} + \frac{mgh}{I} \theta = 0$$

Aquestes equacions diferencials tenen solucions oscil·latòries del tipus $\theta = \theta_0 \sin(\omega t + \phi)$. La freqüència angular $\omega$ ve donada per:

$$\omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}$$

i el període $T$ ve donat per:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}$$

Aquest és un moviment harmònic simple, però només quan l’angle $\theta$ és petit. Si l’angle $\theta$ no és petit, el moviment no és harmònic simple i cal resoldre l’equació no lineal del pèndol. Aquestes oscil·lacions són més complexes i no es poden resoldre analíticament de manera senzilla.

Aplicacions del pèndol físic. El pèndol físic té moltes aplicacions, com ara:

• L’estudi de la inestabilitat dinàmica de sistemes mecànics.
• La mesura del moment d’inèrcia d’un sòlid.
• La determinació precisa de l’acceleració de la gravetat $g$.
• L’estudi de les oscil·lacions no lineals en sistemes físics.