Pèndol de torsió

A la figura 1.10, s’ha representat un pèndol de torsió, format per un fil vertical $OO’$, fixat al sostre, del qual s’ha suspès un disc —o, en general, un sòlid rígid. Si el disc es gira en un pla horitzontal al voltant del fil, que actua com a eix, un cert angle i es deixa anar, s’observa que oscil·la seguint un moviment harmònic simple (MHS) angular. Cal destacar que l’extrem $O’$ està unit al disc i gira amb aquest, mentre que l’extrem $O$ està fixat al sostre i no gira de cap manera. Així, a cada oscil·lació, el fil experimenta un torçament creixent en un sentit o en l’altre.

La posició d’equilibri del sistema fil-disc correspon a l’orientació del disc en què el fil no està torçat. Si $\theta$ és l’angle que el disc ha girat respecte a la seva posició d’equilibri, es troba que, sempre que no es superi el límit elàstic de torsió del fil, el torçament d’aquest exerceix un moment recuperador $M$ sobre el disc, proporcional a $\theta$. Aquest moment segueix la llei de Hooke i s’expressa com:

$$M = -\kappa \theta$$

on $\kappa$ és la constant de torsió del fil.

Aquesta constant depèn de les propietats elàstiques de cada fil i té un paper equivalent al de la constant de força $k$ en el sistema molla-massa. De manera similar a aquest sistema, és possible determinar experimentalment la constant $\kappa$ d’un fil concret.

Amb una sola mesura. En efecte, només cal observar quin angle ha girat el disc després d’haver-hi aplicat un moment conegut. Si $I$ és el moment d’inèrcia del disc o del sòlid respecte a l’eix del fil, aplicant la segona llei de Newton per a les rotacions, tal com hem fet amb el pèndol físic, obtindrem:

$$-\kappa \theta = I \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

és a dir, l’equació diferencial:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{\kappa}{I} \theta = 0$$

Les oscil·lacions del sistema fil-disc són, per tant, un moviment harmònic simple (MHS) angular amb un període:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}$$

Així com una aplicació molt directa de la llei de Hooke en relació amb les molles és el dinamòmetre, l’ús més habitual dels pèndols de torsió és la balança de torsió. En aquestes balances, els fils dels pèndols de torsió estan calibrats per mesurar forces, de manera similar a un dinamòmetre, però en aquest cas forces molt més petites.