Un moviment periòdic que no és un MHS

Una partícula es troba sobre una estructura formada per dos plans inclinats amb un angle $\alpha$ —vegeu figura 1.23.

La partícula es deixa anar des d’una altura $h$ i llisca cap avall. Si no hi ha fricció, la partícula farà un moviment periòdic oscil·latori; però, serà un MHS? Determineu-ne el període en funció de l’amplitud horitzontal $A$ de l’oscil·lació.

La partícula fa un moviment oscil·latori perquè la força que hi actua —la component tangencial del pes, $|F| = mg \sin \alpha$— és recuperadora: $$F(x) = \begin{cases} +mg\sin \alpha, & \text{si } x < 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \\ -mg\sin \alpha, & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Però el moviment no pot ser harmònic simple, ja que aquesta força és constant i no proporcional a l’elongació $x$.

Per tal que faci el període, podem trobar el temps $t_1$ que triga la partícula a baixar pel pla inclinat. Per la simetria del moviment, el període serà quatre vegades aquest temps. Així doncs, com que l’acceleració és $a = g \sin \alpha$, tenim: $$\frac{h}{\sin \alpha} = \frac{1}{2} g \sin \alpha \, t_1^2$$

Considerant que $T = 4t_1$ i que $h = A \tan \alpha \cdot \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, resulta: $$T = \frac{4}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{8}{\sqrt{g \sin 2\alpha}} \sqrt{A}$$

Fixem-nos que el període depèn, efectivament, de l’amplitud $A$. A més, encara que l’amplitud es faci molt petita, la força continuarà essent constant i el moviment no serà mai un MHS.