Càlcul de la Inversa i Propietats de Matrius Quadrades

a) \( \mathbf{A} \), una matriu quadrada invertible quelsevol, i \( \mathbf{A}^{-1} \) la seva inversa, quina matriu s’ha d’obtenir en calcular \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \)? Descriviu/indicau com és aquesta matriu. b) Considerau la matriu\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}2 & x \\0 & x + 2\end{pmatrix}\] i) Calculau els valors de \( x \) per als quals se satisfà que\[\mathbf{A}^2 = 2 \cdot \mathbf{A}.\] ii) Per a \( x = -1 \), calculau \( \mathbf{A}^{-1} \). Comprovau el resultat calculant \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \).

a) Quina matriu s’ha d’obtenir en calcular \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \)? Descriu/indicau com és aquesta matriu. Quan multipliquem una matriu \( \mathbf{A} \) per la seva inversa \( \mathbf{A}^{-1} \), el resultat sempre és la matriu identitat \( \mathbf{I} \) de la mateixa dimensió que \( \mathbf{A} \). En aquest cas, com que \( \mathbf{A} \) és una matriu \( 2 \times 2 \), la matriu identitat \( \mathbf{I} \) també serà \( 2 \times 2 \), i té la forma següent:\[\mathbf{I} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}\] Això es deu a la definició de la inversa: \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I} \). Aquesta matriu té 1 a la diagonal principal i 0 a la resta d’elements.

b) Considerau la matriu\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}2 & x \\0 & x + 2\end{pmatrix}\] i) Calculau els valors de \( x \) per als quals se satisfà que \( \mathbf{A}^2 = 2 \cdot \mathbf{A} \).

Primer, calculem \( \mathbf{A}^2 \), que és \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \):\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = \begin{pmatrix}2 & x \\0 & x + 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & x \\0 & x + 2\end{pmatrix}\]Multipliquem les matrius:

– Element (1,1): \( 2 \cdot 2 + x \cdot 0 = 4 \)

– Element (1,2): \( 2 \cdot x + x \cdot (x + 2) = 2x + x(x + 2) = 2x + x^2 + 2x = x^2 + 4x \)

– Element (2,1): \( 0 \cdot 2 + (x + 2) \cdot 0 = 0 \)

– Element (2,2): \( 0 \cdot x + (x + 2) \cdot (x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)Així, tenim:\[\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix}4 & x^2 + 4x \\0 & x^2 + 4x + 4\end{pmatrix}\]Ara calculem \( 2 \cdot \mathbf{A} \):\[2 \cdot \mathbf{A} = 2 \cdot \begin{pmatrix}2 & x \\0 & x + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2x \\0 & 2(x + 2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2x \\0 & 2x + 4\end{pmatrix}\]L’equació \( \mathbf{A}^2 = 2 \cdot \mathbf{A} \) ens dona:\[\begin{pmatrix}4 & x^2 + 4x \\0 & x^2 + 4x + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2x \\0 & 2x + 4\end{pmatrix}\]Igualem els elements corresponents:

1. Element (1,1): \( 4 = 4 \), que és cert.

2. Element (1,2): \( x^2 + 4x = 2x \)

3. Element (2,1): \( 0 = 0 \), que és cert.

4. Element (2,2): \( x^2 + 4x + 4 = 2x + 4 \) Resolem l’equació de l’element (1,2):\[x^2 + 4x = 2x \implies x^2 + 4x – 2x = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0\] Això ens dona \( x = 0 \) o \( x = -2 \). Comprovem l’equació de l’element (2,2):\[x^2 + 4x + 4 = 2x + 4 \implies x^2 + 4x + 4 – 2x – 4 = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0\] Tornem a obtenir \( x = 0 \) o \( x = -2 \). Les dues equacions són consistents, i les solucions són \( x = 0 \) i \( x = -2 \). Per tant, els valors de \( x \) que satisfan l’equació són: \[x = 0 \quad \text{i} \quad x = -2\]

ii) Per a \( x = -1 \), calculau \( \mathbf{A}^{-1} \). Comprovau el resultat calculant \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \).Substituïm \( x = -1 \) a la matriu \( \mathbf{A} \):\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\0 & -1 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\0 & 1\end{pmatrix}\]Per trobar \( \mathbf{A}^{-1} \), utilitzem la fórmula per a una matriu \( 2 \times 2 \):Si \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), llavors:\[\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]Calculem el determinant de \( \mathbf{A} \):\[\det(\mathbf{A}) = (2)(1) – (-1)(0) = 2 – 0 = 2\] Ara, apliquem la fórmula:\[\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & -(-1) \\-0 & 2\end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\0 & 1\end{pmatrix}\] Comprovem calculant \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \):\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\0 & 1\end{pmatrix}\]

– Element (1,1): \( 2 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot 0 = 1 + 0 = 1 \)

– Element (1,2): \( 2 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot 1 = 1 – 1 = 0 \)

– Element (2,1): \( 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0 \)

– Element (2,2): \( 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1 \)Així:\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = \mathbf{I}\]El resultat és correcte, ja que obtenim la matriu identitat.

Resposta final:\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}\]