Anàlisi de Matrius: Propietats, Inversa i Condicions d’Inversibilitat

Considera la matriu \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} \) a) Determina la matriu \( \mathbf{B} = \mathbf{A}^2 – 2\mathbf{A} \). b) Determina els valors de \( \lambda \) per als quals la matriu \( \mathbf{B} \) tingui inversa. c) Calcula \( \mathbf{B}^{-1} \) per a \( \lambda = 1 \)

a) Determina la matriu \( \mathbf{B} = \mathbf{A}^2 – 2\mathbf{A} \).Calculem les matrius \( \mathbf{A}^2 \), \( 2\mathbf{A} \) i les restem.\[\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1-\lambda \\ 1+\lambda & -1+\lambda^2 \end{pmatrix}\]\[2\mathbf{A} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2\lambda \end{pmatrix}\]\[\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & -1-\lambda \\ 1+\lambda & -1+\lambda^2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1-\lambda \\ -1+\lambda & -1-2\lambda+\lambda^2 \end{pmatrix}\]

b) Determina els valors de \( \lambda \) per als quals la matriu \( \mathbf{B} \) tingui inversa.La matriu \( \mathbf{B} \) té inversa si i només si \( |\mathbf{B}| \neq 0 \).\[|\mathbf{B}| = \begin{vmatrix} -2 & 1-\lambda \\ -1+\lambda & -1-2\lambda+\lambda^2 \end{vmatrix} = ( -2 ) ( -1-2\lambda+\lambda^2 ) – ( 1-\lambda ) ( -1+\lambda )\]\[|\mathbf{B}| = 0 \implies -\lambda^2 + 2\lambda + 3 = 0\]\[\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{-2} \implies \lambda = -1, \quad \lambda = 3\] La matriu \( \mathbf{B} \) té inversa per a \( \lambda = -1 \) i \( \lambda = 3 \).

c) Calcula \( \mathbf{B}^{-1} \) per a \( \lambda = 1 \).\[\mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \implies \text{Apliquem } \mathbf{B}^{-1} = \frac{[\text{Adj}(\mathbf{B})]^T}{|\mathbf{B}|}\] Determinant de \( |\mathbf{B}| = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 4 \)

– Matriu adjunta de \( \mathbf{B} \): Adjuntes: \( B_{11} = -2 \), \( B_{12} = 0 \), \( B_{21} = 0 \), \( B_{22} = -2 \)\[\text{Adj}(\mathbf{B}) = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\]

– Transposada de la adjunta \( [\text{Adj}(\mathbf{B})]^T = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \)

– Matriu inversa \( \mathbf{B}^{-1} \):\[\mathbf{B}^{-1} = \frac{\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}}{4} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\]