Matrius i discussió sistemes d’equacions

Sigui \(\lambda\) un nombre real i considerem les matrius \[A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix}\]Se sol·licita: a) Estudiar si existeix algun valor de \(\lambda\) per al qual la matriu \(AB\) no tingui inversa. b) Estudiar el rang de la matriu \(BA\) en funció del paràmetre \(\lambda\). c) Per a \(\lambda = 1\), discutir el sistema \[(A^t A) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2a \end{pmatrix}\]segons els valors de \(a\).

Es disposa de garrafes de tres mides diferents per omplir un dipòsit. Amb sis garrafes petites i 2 L s’omple exactament una garrafa mitjana i una de gran. Amb dues garrafes grans omplim dues mitjanes, una petita i sobra 1 L. El dipòsit s’omple completament amb catorze garrafes petites més sis mitjanes, o bé amb cinc mitjanes juntament amb cinc grans. Es demana calcular la capacitat de cada tipus de garrafa i, un cop conegudes aquestes, la del dipòsit.

a) La matriu \( AB = \begin{pmatrix} 2\lambda & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) té determinant \(-1 \neq 0\) per a qualsevol \(\lambda\), de manera que no existeix cap valor de \(\lambda\) per al qual \(AB\) no sigui invertible.

b) La matriu \( BA = \begin{pmatrix} \lambda & 1 + \lambda^2 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 2\lambda \end{pmatrix} \) té determinant $0$. Ja que el determinant \(\left| \begin{matrix} 1 + \lambda^2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| = 1 + \lambda^2\) (d’un dels seus menors 2×2) no s’anul·la per cap valor de \(\lambda\), el rang de \(A\) és 2 per a qualsevol \(\lambda\).

c) Per a \(\lambda = 1\), tenim:\[A^t A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 0 \\1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 0 & -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3 & 1 & -1 \\1 & 1 & 1 \\-1 & 1 & 3\end{pmatrix}\]Però al text simplifiquen: \[A^t A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2\end{pmatrix}, \quad\text{i el sistema:} \quad\left( A^t A \right) \begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a^2 \\a^2 \\2a\end{pmatrix}\]Aquesta matriu ampliada és equivalent per files a:\[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & a^2 \\0 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & a(2 – a)\end{array}\right)\]Així doncs, com que \(\text{rang}(A A^t) = 2\), el sistema serà compatible indeterminat per a \(a = 0\) o \(a = 2\), i incompatible si \(a \notin \{0, 2\}\).

1.2. Si \(x\) és la capacitat (en litres) de cada garrafa gran, \(y\) la de les mitjanes, i \(z\) la de les petites, les equacions que es plantegen són:- \(6z + 2 = x + y\)- \(2x = 2y + z + 1\)- \(14z + 6y = 5y + 5x\)Llavors, \(x, y, z\) són les solucions del sistema:\[\begin{cases}x + y – 6z = 2 \\2x – 2y – z = 1 \\5x – y – 14z = 0\end{cases}\]En resoldre el sistema s’obté que:

• Capacitat de la garrafa gran: 37 L

• Capacitat de la garrafa mitjana: 31 L

• Capacitat de la garrafa petita: 11 L

El dipòsit s’omple amb:\[14 \cdot 11 + 6 \cdot 31 = 5 \cdot 31 + 5 \cdot 37 = 340 \text{ L}\]