Operacions amb matrius

Donades les matrius $$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix},$$ realitza les següents operacions (si és possible). Justifica raonadament si no pots realitzar les operacions.a) \( A \cdot B \) b) \( B \cdot D \) c) \( C^t + 2D \) d) \( B + A \cdot B \) e) \( B \cdot C + D \)

Per determinar si les operacions són possibles, hem de tenir en compte les dimensions de les matrius i les regles de les operacions matricials:

• Dimensions de les matrius:

• \( A \) és \( 3 \times 3 \) (3 files, 3 columnes).

• \( B \) és \( 3 \times 2 \) (3 files, 2 columnes).

• \( C \) és \( 2 \times 2 \) (2 files, 2 columnes).

• \( D \) és \( 2 \times 2 \) (2 files, 2 columnes).

a) \( A \cdot B \)

• Per multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona.

• \( A \) és \( 3 \times 3 \), \( B \) és \( 3 \times 2 \). Com que el nombre de columnes de \( A \) (3) coincideix amb el nombre de files de \( B \) (3), la multiplicació és possible.

• La matriu resultant serà de dimensió \( 3 \times 2 \).Calculem \( A \cdot B \):\[A \cdot B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\]- Fila 1 de \( A \) per columna 1 de \( B \): \( 4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 8 + 2 + 0 = 10 \)

• Fila 1 de \( A \) per columna 2 de \( B \): \( 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) = -4 + 6 + 2 = 4 \)

• Fila 2 de \( A \) per columna 1 de \( B \): \( 0 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0 – 3 + 0 = -3 \)- Fila 2 de \( A \) per columna 2 de \( B \): \( 0 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 0 – 9 – 4 = -13 \)- Fila 3 de \( A \) per columna 1 de \( B \): \( 1 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2 + 5 + 0 = 7 \)

• Fila 3 de \( A \) per columna 2 de \( B \): \( 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) = -1 + 15 + 0 = 14 \)

Resultat:\[A \cdot B = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ -3 & -13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}\]

b) \( B \cdot D \)- \( B \) és \( 3 \times 2 \), \( D \) és \( 2 \times 2 \). Com que el nombre de columnes de \( B \) (2) coincideix amb el nombre de files de \( D \) (2), la multiplicació és possible.

• La matriu resultant serà de dimensió \( 3 \times 2 \).Calculem \( B \cdot D \):\[B \cdot D = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}\]- Fila 1 de \( B \) per columna 1 de \( D \): \( 2 \cdot 5 + (-1) \cdot (-3) = 10 + 3 = 13 \)

• Fila 1 de \( B \) per columna 2 de \( D \): \( 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 = -4 + 0 = -4 \)- Fila 2 de \( B \) per columna 1 de \( D \): \( 1 \cdot 5 + 3 \cdot (-3) = 5 – 9 = -4 \)

• Fila 2 de \( B \) per columna 2 de \( D \): \( 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 0 = -2 + 0 = -2 \)

• Fila 3 de \( B \) per columna 1 de \( D \): \( 0 \cdot 5 + (-2) \cdot (-3) = 0 + 6 = 6 \)

• Fila 3 de \( B \) per columna 2 de \( D \): \( 0 \cdot (-2) + (-2) \cdot 0 = 0 + 0 = 0 \)Resultat:\[B \cdot D = \begin{pmatrix} 13 & -4 \\ -4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}\]

c) \( C^t + 2D \)- Primer, calculem la transposada de \( C \). \( C \) és \( 2 \times 2 \):\[C = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad C^t = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\]

• Calculem \( 2D \):\[D = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}, \quad 2D = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -4 \\ -6 & 0 \end{pmatrix}\]

• Ara sumem \( C^t + 2D \). Totes dues matrius són \( 2 \times 2 \), per tant, la suma és possible:\[C^t + 2D = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -4 \\ -6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 10 & 3 – 4 \\ 4 – 6 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\]

d) \( B + A \cdot B \)

• Primer, hem calculat \( A \cdot B \) en l’apartat a), i el resultat és:\[A \cdot B = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ -3 & -13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}\]- \( B \) és \( 3 \times 2 \), i \( A \cdot B \) també és \( 3 \times 2 \). Com que tenen les mateixes dimensions, la suma és possible:\[B + A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ -3 & -13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 10 & -1 + 4 \\ 1 – 3 & 3 – 13 \\ 0 + 7 & -2 + 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ -2 & -10 \\ 7 & 12 \end{pmatrix}\]

e) \( B \cdot C + D \)

• Calculem \( B \cdot C \):

• \( B \) és \( 3 \times 2 \), \( C \) és \( 2 \times 2 \). Com que el nombre de columnes de \( B \) (2) coincideix amb el nombre de files de \( C \) (2), la multiplicació és possible.

• La matriu resultant serà \( 3 \times 2 \).\[B \cdot C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\]- Fila 1 de \( B \) per columna 1 de \( C \): \( 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 = -2 – 3 = -5 \)

• Fila 1 de \( B \) per columna 2 de \( C \): \( 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 8 – 1 = 7 \)

• Fila 2 de \( B \) per columna 1 de \( C \): \( 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = -1 + 9 = 8 \)

• Fila 2 de \( B \) per columna 2 de \( C \): \( 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7 \)

• Fila 3 de \( B \) per columna 1 de \( C \): \( 0 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 = 0 – 6 = -6 \)- Fila 3 de \( B \) per columna 2 de \( C \): \( 0 \cdot 4 + (-2) \cdot 1 = 0 – 2 = -2 \)\[B \cdot C = \begin{pmatrix} -5 & 7 \\ 8 & 7 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}\]- Ara sumem \( B \cdot C + D \):

• \( B \cdot C \) és \( 3 \times 2 \), però \( D \) és \( 2 \times 2 \). Com que les dimensions no coincideixen (\( 3 \times 2 \) i \( 2 \times 2 \)), la suma no és possible.

Justificació: L’operació \( B \cdot C + D \) no es pot realitzar perquè les matrius no tenen les mateixes dimensions.

Resum dels resultats \( A \cdot B = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ -3 & -13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix} \) b) \( B \cdot D = \begin{pmatrix} 13 & -4 \\ -4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \) c) \( C^t + 2D = \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \) d) \( B + A \cdot B = \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ -2 & -10 \\ 7 & 12 \end{pmatrix} \) e) \( B \cdot C + D \): No és possible perquè les dimensions de \( B \cdot C \) (\( 3 \times 2 \)) i \( D \) (\( 2 \times 2 \)) no coincideixen.