Flux de fluid a través d’un tub de Venturi

Un tub de Venturi està dissenyat per mesurar el cabal de líquids. El tub té dues seccions de diàmetres diferents: la secció d’entrada (secció 1) té un diàmetre \( D_1 = 0.15 \, \text{m} \), mentre que la secció de sortida (secció 2) té un diàmetre \( D_2 = 0.07 \, \text{m} \). El fluid que circula pel tub és aigua (densitat \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) i viscositat dinàmica \( \mu = 0.001 \, \text{Pa.s} \)).A la secció 1, la velocitat de l’aigua és \( v_1 = 2 \, \text{m/s} \), i la pressió és \( P_1 = 300 \, \text{kPa} \). a) Calcula la velocitat del fluid a la secció 2, utilitzant l’equació de continuïtat. b) Calcula el número de Reynolds a la secció 1 i a la secció 2, i determina si el flux és laminar o turbulent. c) Utilitza l’efecte Venturi per calcular la pèrdua de pressió entre les dues seccions.

a) Velocitat a la secció 2 (equació de continuïtat)L’equació de continuïtat ens diu que el cabal a la secció 1 és igual al cabal a la secció 2, és a dir:\[A_1 v_1 = A_2 v_2\]On \( A \) és l’àrea de la secció. L’àrea es calcula com:\[A = \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2\]Per tant:\[v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 = \frac{\pi \left( \frac{D_1}{2} \right)^2}{\pi \left( \frac{D_2}{2} \right)^2} v_1 = \left( \frac{D_1^2}{D_2^2} \right) v_1\]Substituïm els valors de \( D_1 \), \( D_2 \) i \( v_1 \):\[v_2 = \left( \frac{0.15^2}{0.07^2} \right) \cdot 2 = \left( \frac{0.0225}{0.0049} \right) \cdot 2 = 9.18 \cdot 2 = 18.36 \, \text{m/s}\]Per tant, la velocitat a la secció 2 és \( v_2 \approx 18.36 \, \text{m/s} \)

b) Número de Reynolds a la secció 1 i a la secció 2. El número de Reynolds es calcula com:\[Re = \frac{\rho v D}{\mu}\]On:- \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) és la densitat de l’aigua,- \( \mu = 0.001 \, \text{Pa.s} \) és la viscositat dinàmica de l’aigua,- \( v \) és la velocitat del fluid,- \( D \) és el diàmetre de la canonada.Per la secció 1:\[Re_1 = \frac{1000 \cdot 2 \cdot 0.15}{0.001} = 300000\]Per la secció 2:\[Re_2 = \frac{1000 \cdot 18.36 \cdot 0.07}{0.001} = 1285200\]Dels valors obtinguts, podem concloure que el flux és turbulent en ambdues seccions, ja que el número de Reynolds és molt superior a 4000 (el llindar per al flux laminar).

c) Pèrdua de pressió (efecte Venturi). Per calcular la pèrdua de pressió deguda a l’efecte Venturi, utilitzarem la conservació de l’energia (principi de Bernoulli) entre les dues seccions. La pèrdua de pressió a causa de l’efecte Venturi es pot expressar com:\[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\]Reorganitzant per trobar la pressió a la secció 2:\[P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 – v_2^2)\]Substituïm els valors coneguts:\[P_2 = 300000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2^2 – 18.36^2)\]\[P_2 = 300000 + 500 \cdot (4 – 336.22) = 300000 + 500 \cdot (-332.22) = 300000 – 166110 = 133890 \, \text{Pa}\]Per tant, la pressió a la secció 2 és \( P_2 = 133.89 \, \text{kPa} \).La pèrdua de pressió entre les dues seccions és:\[\Delta P = P_1 – P_2 = 300 \, \text{kPa} – 133.89 \, \text{kPa} = 166.11 \, \text{kPa}\]

Resum:

a) La velocitat a la secció 2 és \( v_2 \approx 18.36 \, \text{m/s} \).

b) El número de Reynolds és \( Re_1 = 300000 \) a la secció 1 i \( Re_2 = 1285200 \) a la secció 2, amb flux turbulent en ambdues seccions.

c) La pèrdua de pressió entre les dues seccions és \( \Delta P \approx 166.11 \, \text{kPa} \).