LEMNISCATA
Matemàtiques
Per una canonada horitzontal de $20$ mm de diàmetre hi circula un fluid amb una velocitat de $3$ m/s. a) Calculeu el cabal en l/min. b) Calculeu la velocitat en una altra secció de la mateixa línia de $10$ mm de diàmetre. c) Si el fluid és aigua, calculeu la diferència d’alçades entre dos tubs verticals col·locats immediatament abans i després de l’estrenyiment. Densitat de l’aigua $1$g/cm3.
El cabal $Q$ en una canonada es calcula amb la fórmula:
$$Q = A \times v$$
On:
Primer, calculem l’àrea de la canonada. El diàmetre de la canonada és de $20$ mm $= 0,02$ m. L’àrea d’una secció transversal d’un cilindre és:
$$A = \pi \frac{D^2}{4} = \pi \frac{(0.02)^2}{4} = 3.1416 \times \frac{0.0004}{4} = 3.1416 \times 0.0001 = 0.00031416 \, \text{m}^2$$
Donat que la velocitat és $v = 3 \, \text{m/s}$, el cabal és:
$$Q = A \times v = 0.00031416 \, \text{m}^2 \times 3 \, \text{m/s} = 0.00094248 \, \text{m}^3/s$$
Convertim aquest cabal a litres per minut:
$$Q = 0.00094248 \, \text{m}^3/s \times 1000 \, \text{l/m}^3 \times 60 \, \text{s/min} = 56.5488 \, \text{l/min}$$
Resposta: El cabal és de $56,55$ l/min.
En una canonada de flux constant, el cabal es conserva. Per tant, podem utilitzar l’equació de continuïtat:
$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$
On:
Primer calculem $A_2$, que és l’àrea de la secció de la canonada de $10$ mm de diàmetre $0,01$ m:
$$A_2 = \pi \frac{D^2}{4} = \pi \frac{(0.01)^2}{4} = 3.1416 \times 0.000025 = 7.854 \times 10^{-5} \, \text{m}^2$$
Ara apliquem l’equació de continuïtat:
$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$
Despeguem $v_2$:
$$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{0.00031416 \times 3}{0.00007854} = \frac{0.00094248}{0.00007854} = 12 \, \text{m/s}$$
Resposta: La velocitat en la secció de $10$ mm de diàmetre és $12$ m/s.
Per determinar la diferència d’alçades $\Delta h$ entre els dos tubs verticals que mesuren la pressió en la secció abans i després de l’estrenyiment, utilitzem el principi de Bernoulli. Aquest principi estableix que:
$$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$$
Donat que els tubs estan a la mateixa alçada (la canonada és horitzontal), $h_1 = h_2$, i es cancel·la el terme $\rho g h$. La diferència de pressió es deu llavors només a la diferència de velocitats. Despeguem la diferència de pressió $P_1 – P_2$ (la diferència d’alçades de la columna d’aigua en els tubs):
$$P_1 – P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 – v_1^2)$$
La diferència de pressió es relaciona amb la diferència d’alçada en els tubs mitjançant:
$$P_1 – P_2 = \rho g \Delta h$$
Igualem les dues equacions:
$$\rho g \Delta h = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 – v_1^2)$$
Simplifiquem $\rho$ (densitat de l’aigua, $1000 \, \text{kg/m}^3$ i despeguem $\Delta h$:
$$g \Delta h = \frac{1}{2} (v_2^2 – v_1^2)$$
$$\Delta h = \frac{v_2^2 – v_1^2}{2g}$$
Substituïm els valors:
$$\Delta h = \frac{12^2 – 3^2}{2 \times 9.81} = \frac{144 – 9}{19.62} = \frac{135}{19.62} = 6.88 \, \text{m}$$
Resposta: La diferència d’alçades entre els dos tubs verticals és $6,88$ m.