Flux a través d’una canonada amb canvi de secció i pèrdua de pressió

Una canonada horitzontal condueix aigua (densitat \( \rho = 1000\, \text{kg/m}^3 \)) des d’un dipòsit a pressió constant. La canonada té dues seccions de diàmetres diferents. La secció 1 té un diàmetre \( D_1 = 0.10\, \text{m} \) i la secció 2 té un diàmetre \( D_2 = 0.05\, \text{m} \). A la secció 1, la pressió és \( P_1 = 200\, \text{kPa} \) i la velocitat de l’aigua és \( v_1 = 2\, \text{m/s} \).Suposa que el flux és estacional i incompressible, i ignora les pèrdues per fregament, però considera una pèrdua de càrrega local deguda a la contracció de secció equivalent a una pèrdua de pressió \( \Delta P_{\text{pèrdua}} = K \cdot \frac{1}{2} \rho v_2^2 \), amb \( K = 0.5 \) i \( v_2 \) la velocitat a la secció 2. a) Troba la velocitat del fluid a la secció 2. b) Calcula la pressió a la secció 2, tenint en compte la pèrdua de càrrega.

a) Per la conservació del cabal (equació de continuïtat):\[A_1 v_1 = A_2 v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{A_1}{A_2} v_1 = \left( \frac{D_1^2}{D_2^2} \right) v_1\]\[v_2 = \left( \frac{0.10^2}{0.05^2} \right) \cdot 2 = \left( \frac{0.01}{0.0025} \right) \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8\, \text{m/s}\]

b) Aplicant Bernoulli entre les dues seccions amb la pèrdua de càrrega:\[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \Delta P_{\text{pèrdua}}\]\[\Delta P_{\text{pèrdua}} = K \cdot \frac{1}{2} \rho v_2^2 = 0.5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 8^2 = 0.25 \cdot 1000 \cdot 64 = 16000\, \text{Pa}\]Reorganitzant per trobar \( P_2 \):\[P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 – \frac{1}{2} \rho v_2^2 – \Delta P_{\text{pèrdua}}\]\[P_2 = 200000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2^2 – 8^2) – 16000 = 200000 + 500(4 – 64) – 16000\]\[P_2 = 200000 + 500(-60) – 16000 = 200000 – 30000 – 16000 = 154000\, \text{Pa} = 154\, \text{kPa}\]