LEMNISCATA
Matemàtiques
Es deixa caure un cos de densitat $0.8$ g/cm$^3$ i $1000$ cm$^3$ de volum des d’una alçada de $78.4$ m sobre benzè, de densitat $0.9$ g/cm$^3$. Calcula el temps que trigarà a assolir la profunditat màxima.
Per a resoldre aquest problema, hem de considerar els següents passos:
La velocitat de l’objecte quan arriba a la superfície del benzè es pot calcular amb l’equació de caiguda lliure:
$$v = \sqrt{2 g h}$$
On:
Substituint els valors:
$$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 78.4 \, \text{m}} = \sqrt{1535.68 \, \text{m}^2/\text{s}^2} = 39.2 \, \text{m/s}$$
En arribar a la superfície del bencè, l’objecte entra amb una velocitat de $39.2$ m/s.
Quan l’objecte entra al benzè, està subjecte a una força de flotació. La força de flotació es pot calcular com:
$$F_{\text{flotació}} = \rho_{\text{benzè}} \cdot V \cdot g$$
On:
Substituint els valors:
$F_{\text{flotació}} = 900 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0.001 \, \text{m}^3 \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 8.82 \, \text{N}$$
La massa de l’objecte és:
$$m = \rho_{\text{objecte}} \cdot V = 800 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0.001 \, \text{m}^3 = 0.8 \, \text{kg}$$
La força gravitatòria sobre l’objecte és:
$$F_{\text{gravetat}} = m \cdot g = 0.8 \, \text{kg} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 = 7.84 \, \text{N}$$
La força neta que actua sobre l’objecte dins del benzè és:
$$F_{\text{neta}} = F_{\text{gravetat}} – F_{\text{flotació}} = 7.84 \, \text{N} – 8.82 \, \text{N} = -0.98 \, \text{N}$$
L’acceleració dins del benzè és:
$$a = \frac{F_{\text{neta}}}{m} = \frac{-0.98 \, \text{N}}{0.8 \, \text{kg}} = -1.225 \, \text{m/s}^2$$
L’objecte continuarà descelerant dins del benzè fins que la seva velocitat arribi a zero. Utilitzem l’equació de moviment uniformement accelerat per trobar el temps:
$$v_f = v_i + a \cdot t$$
Quan $v_f = 0$:
$$0 = 39.2 \, \text{m/s} + (-1.225 \, \text{m/s}^2) \cdot t$$
Despejant $t$:
$$t = \frac{39.2 \, \text{m/s}}{1.225 \, \text{m/s}^2} \approx 32 \, \text{s}$$
Per tant, el temps que trigarà l’objecte en arribar a la profunditat màxima és aproximadament de $32$ segons.