La pressió augmenta amb la profunditat

Es disposa d’un dipòsit d’aigua cilíndric obert i molt gran.  S’emplena fins  $h_0=12$ m d’alçària respecte a la base del recipient. Calcula la pressió en un punt situat a $h_1=3$ m respecte a la base del recipient, un altre a $6$ metres i un altre a $11$ m.

Per calcular la pressió en diferents punts d’un dipòsit d’aigua cilíndric, utilitzarem el principi fonamental de la hidrostàtica, que ens diu que la pressió en un fluid en repòs depèn de la profunditat a la que ens trobem respecte a la superfície lliure del fluid.

La fórmula per calcular la pressió $P$ en un punt a una profunditat $h$ és:

$$P = P_0 + \rho g h$$

On:

• $P_0$ és la pressió atmosfèrica (aproximadament $101325$ Pa
• $\rho$ és la densitat de l’aigua (aproximadament $1000$ kg/m$^3$
• $g$ és l’acceleració de la gravetat (aproximadament $9.81$ m/s$^2$
• $h$ és la profunditat respecte a la superfície lliure de l’aigua

Ara calculem la pressió en els diferents punts demanats:

1. A una alçada de $3$ m respecte a la base $h_1 = 3$ m La profunditat respecte a la superfície és $h_0 – h_1 = 12 m – 3 m = 9 m$ ). $$P_1 = P_0 + \rho g h_1 = 101325 \, \text{Pa} + 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 9 \, \text{m}$$ $$P_1 = 101325 \, \text{Pa} + 88290 \, \text{Pa}$$ $$P_1 = 189615 \, \text{Pa}$$
2. A una alçada de $6$ m respecte a la base $h_2 = 6$ m La profunditat respecte a la superfície és $h_0 – h_2 = 12 m – 6 m = 6 m$. $$P_2 = P_0 + \rho g h_2 = 101325 \, \text{Pa} + 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 6 \, \text{m}$$ $$P_2 = 101325 \, \text{Pa} + 58860 \, \text{Pa}$$ $$P_2 = 160185 \, \text{Pa}$$
3. A una alçada de $11$ m respecte a la base $h_3 = 11$ m La profunditat respecte a la superfície és $h_0 – h_3 = 12 m – 11 m = 1 m$. $$P_3 = P_0 + \rho g h_3 = 101325 \, \text{Pa} + 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 1 \, \text{m}$$ $$P_3 = 101325 \, \text{Pa} + 9810 \, \text{Pa}$$ $$P_3 = 111135 \, \text{Pa}$$

Per resumir:

• La pressió a una alçada de $3$ m respecte a la base és de $189615$ Pa $= 1.871$ atm.
• La pressió a una alçada de 6 m respecte a la base és de $160185$ Pa $= 1.581$ atm.
• La pressió a una alçada de 11 m respecte a la base és de $111135$ Pa $= 1.096$ atm.