LEMNISCATA
Matemàtiques
Dos blocs de masses $m_1 = 20 \, \text{kg}$ i $m_2 = 15 \, \text{kg}$, recolzats l’un contra l’altre, descansen sobre un terra perfectament llis. S’aplica al bloc $m_1$ una força $F = 40 \, \text{N}$ horitzontal i es demana:
a) Acceleració amb la qual es mou el sistema
b) Forces d’interacció entre ambdós blocs
Per a resoldre aquest problema, primer hem de considerar que tots dos blocs $m_1$ i $m_2$ es mouran junts com un sistema, ja que estan en contacte l’un amb l’altre i no hi ha fricció. La força externa aplicada és $F = 40 \, \text{N}$.
L’acceleració del sistema es pot trobar utilitzant la segona llei de Newton. Primer, calculem la massa total del sistema:
$$m_{\text{total}} = m_1 + m_2$$
Substituïm els valors donats:
$$m_{\text{total}} = 20 \, \text{kg} + 15 \, \text{kg} = 35 \, \text{kg}$$
La força neta aplicada al sistema és $F = 40 \, \text{N}$. Aplicant la segona llei de Newton:
$$F_{\text{net}} = m_{\text{total}} \cdot a$$
Despeguem l’acceleració $a$:
$$a = \frac{F_{\text{net}}}{m_{\text{total}}} = \frac{40 \, \text{N}}{35 \, \text{kg}} = \frac{40}{35} \, \text{m/s}^2 = \frac{8}{7} \, \text{m/s}^2 \approx 1.14 \, \text{m/s}^2$$
Per a trobar la força d’interacció entre els blocs, analitzem les forces que actuen sobre cada bloc per separat.
Sobre $m_1$:
La força externa $F$ s’aplica sobre $m_1$, i hi ha una força d’interacció $F_{\text{int}}$ exercida per $m_2$ sobre $m_1$ en la direcció oposada a $F$. La segona llei de Newton per a $m_1$ és:
$$F – F_{\text{int}} = m_1 \cdot a$$
Despeguem $F_{\text{int}}$:
$$F_{\text{int}} = F – m_1 \cdot a$$
Substituïm els valors:
$$F_{\text{int}} = 40 \, \text{N} – 20 \, \text{kg} \cdot \frac{8}{7} \, \text{m/s}^2$$
$$F_{\text{int}} = 40 \, \text{N} – \frac{160}{7} \, \text{N}$$
$$F_{\text{int}} = 40 \, \text{N} – 22.86 \, \text{N}$$
$$F_{\text{int}} = 17.14 \, \text{N}$$
Sobre $m_2$:
L’única força que actua sobre $m_2$ és la força d’interacció $F_{\text{int}}$ exercida per $m_1$ sobre $m_2$. La segona llei de Newton per a $m_2$ és:
$$F_{\text{int}} = m_2 \cdot a$
Substituïm els valors:
$$F_{\text{int}} = 15 \, \text{kg} \cdot \frac{8}{7} \, \text{m/s}^2$$
$$F_{\text{int}} = \frac{120}{7} \, \text{N}$$
$$F_{\text{int}} = 17.14 \, \text{N}$$
Per tant, la força d’interacció entre els dos blocs és $17.14 \, \text{N}$.
a) L’acceleració del sistema és $\frac{8}{7} \, \text{m/s}^2$ o aproximadament $1.14 \, \text{m/s}^2$.
b) La força d’interacció entre els blocs és $17.14 \, \text{N}$.