Convergència de sèrie numèrica

Estudieu la convergència de la següent sèrie numèrica:$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n}}{n}$$

Per estudiar la convergència de la sèrie numèrica donada:\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n}}{n}\]Cal determinar si aquesta sèrie convergeix o no. Aquesta sèrie és del tipus \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}\), on \(a_n = e^{-n}\). Aquesta sèrie pot ser analitzada mitjançant el **criteri de la comparació** o bé per altres tècniques, com el **criteri de la integral** o el **criteri de la sèrie de Dirichlet**. Anem a utilitzar el criteri de la comparació, ja que \(e^{-n}\) és una funció decreixent i positiva.

Anàlisi de la funció:

1. Comportament de \(e^{-n}\): Sabem que \(e^{-n}\) és una funció exponencial decreixent que es torna molt petita a mesura que \(n\) augmenta. Això significa que els termes de la sèrie decreixen molt ràpidament.

2. Comparació amb una sèrie coneguda: Considerem la sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\), on sabem que convergeix si \(p > 1\) i divergeix si \(p \leq 1\). El terme \(\frac{e^{-n}}{n}\) es comporta com un terme \(\frac{1}{n^p}\) quan \(e^{-n}\) decau molt ràpidament. En efecte, podem veure que \(e^{-n}\) decreix més ràpidament que qualsevol potència de \(n\), i de fet, la sèrie es comporta de manera similar a una sèrie convergent com \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) o fins i tot \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\).

Conclusió: La sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n}}{n}\) convergeix. De fet, la taxa de decreixement de \(e^{-n}\) és prou ràpida perquè la sèrie sigui convergent, similar a com ho seria una sèrie de la forma \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) amb \(p > 1\).