Rendiment plantació d’arbres

El rendiment d’una determinada plantació d’arbres ve donat per $$f(x) = -\frac{x^2 – 8}{x^4}$$ on $x$ és la distància en metres entre els diferents arbres. A quina distància s’han de plantar els arbres per aconseguir una major producció?

La distància òptima serà la que produeixi el major rendiment, és a dir, la que produeixi el màxim absolut de la funció $f(x)$ en l’interval $(0, +\infty)$, ja que la distància ha de ser positiva.

$$\begin{cases}
\text{Maximitzar } f(x) = -\frac{x^2 – 8}{x^4} \\
\text{per a } x \in (0, +\infty)
\end{cases}$$

$f$ és contínua i derivable en $(0, +\infty)$.

Derivada:

$$f'(x) = \frac{2x \cdot x^4 – 4x^3 (x^2 – 8)}{x^8} = \frac{2x^5 – 4x^5 + 32x^3}{x^8} = \frac{32 – 2x^5}{x^5}$$

Punts crítics de $f$:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 32 – 2x^5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^5 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4$$

El valor $x = -4$ no interessa ja que està fora de l’interval admissible. Per tant, l’únic punt crític de $f$ en $(0, +\infty)$ és $x = 4$.

Donat que $x^5 > 0$ en $(0, +\infty)$, és evident que

$$\begin{cases}
f'(x) > 0 \text{ en } (0, 4) \\
f'(x) < 0 \text{ en } (4, +\infty)
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
f \text{ és creixent en } (0, 4) \\
f \text{ és decreixent en } (4, +\infty)
\end{cases}$$

i que, en conseqüència, $f$ té un màxim local en $x = 4$, que també és màxim absolut de $f$ en $(0, +\infty)$.

Solució: La distància entre arbres òptima és de $4$ metres.