Piscifactoria. Maximitzar

El propietari d’una piscifactoria ha determinat que si compra $x$ peixos (en millars), llavors, al cap d’un mes tindrà $$f(x) = \frac{9x}{2x + 4}$$ peixos. Quants peixos ha de comprar per aconseguir que la ganància, $f(x) – x$, sigui màxima?

La quantitat òptima de peixos que ha de comprar serà la que produeixi el major valor de $f(x) – x$, és a dir, la que produeixi el màxim absolut de la funció $f(x) – x$ en l’interval $(0, +\infty)$, ja que el nombre de peixos a comprar ha de ser positiu (en principi, cap la possibilitat de que la màxima ganància es produeixi no comprant cap peix, …).

Llavors el problema a resoldre és

$$\begin{cases}
\text{Maximitzar } g(x) = f(x) – x = \frac{9x}{2x + 4} – x = \frac{5x – 2x^2}{2x + 4} \\
\text{per a } x \in (0, +\infty)
\end{cases}$$

$g$ és contínua i derivable en $(0, +\infty)$.

Derivada:

$$g'(x) = \frac{(5 – 4x)(2x + 4) – (5x – 2x^2) \cdot 2}{(2x + 4)^2} = \frac{-4x^2 – 16x + 20}{(2x + 4)^2}$$

Punts crítics de $g$:

$$g'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x^2 – 16x + 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x – 5 = 0$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -5 \\ 1 \end{cases}$$

El valor $x = -5$ no interessa ja que està fora de l’interval admissible. Per tant, l’únic punt crític de $f$ en $(0, +\infty)$ és $x = 1$.

Coneixent les seves arrels, $g'(x)$ es pot escriure $g'(x) = -4(x + 5)(x – 1)$ i donat que $(2x + 4)^2 > 0$ en $(0, +\infty)$, es pot veure que

$$\begin{cases}
g'(x) > 0 \text{ en } (0, 1) \\
g'(x) < 0 \text{ en } (1, +\infty)
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
g \text{ és creixent en } (0, 1) \\
g \text{ és decreixent en } (1, +\infty)
\end{cases}$$

i que, en conseqüència, $g$ té un màxim local en $x = 1$, que també és màxim absolut de $g$ en $(0, +\infty)$.

Solució: El nombre òptim de peixos és $1$ millar.