El Bari, substància radioactiva

El Bari $133$ ($^{133}\mathrm{Ba}$) és una substància radioactiva i es desintegra a una velocitat proporcional a la quantitat present. La vida mitjana (temps que tarda en desintegrar-se la meitat de qualsevol quantitat inicial) és de $10,53$ anys. a) Determina l’equació diferencial que modelitza l’evolució temporal de la quantitat de $^{133}\mathrm{Ba}$. b) Calcula la constant de desintegració del $^{133}\mathrm{Ba}$. c) Averigua el temps que tarda 1 kg de $^{133}\mathrm{Ba}$ en reduir-se a 1 g.

a) L’equació diferencial que modela la desintegració radioactiva i expressa que la desintegració es produeix a una velocitat proporcional a la quantitat existent és:

$$y’ = -\lambda y$$

on $y(t)$ és la quantitat de $^{133}\mathrm{Ba}$ present en l’instant $t$ (temps, mesurat en anys) i $\lambda > 0$ és la constant de desintegració o d’activitat del $^{133}\mathrm{Ba}$. Les solucions de l’equació són de la forma:

$$y = C e^{-\lambda t}, \quad C \in \mathbb{R}$$

b) La constant de desintegració es calcula a partir de la vida mitjana. Suposem que inicialment hi ha una quantitat $y_0$ de $^{133}\mathrm{Ba}$: $y(0) = y_0$. Puesto que la vida mitjana és $V_m$, el temps que tarda en desintegrar-se la meitat, se tendrà $y(V_m) = \frac{y_0}{2}$. D’aquestes dues equacions es pot despejar $\lambda$ en funció de la vida mitjana:

$$\begin{cases}
y(0) = y_0 = C e^{-\lambda \cdot 0} \quad \Rightarrow \quad C = y_0, \text{ és a dir, } y = y_0 e^{-\lambda t} \\
y(V_m) = \frac{y_0}{2} = y_0 e^{-\lambda V_m} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} = e^{-\lambda V_m} \quad \Rightarrow \quad -\lambda V_m = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{\ln(2)}{V_m}
\end{cases}$$

Aquesta és la relació entre la vida mitjana i la constant de desintegració de qualsevol substància radioactiva. En aquest cas, pues, se té que la constant de desintegració del $^{133}\mathrm{Ba}$ és

$$\lambda = \frac{\ln(2)}{10,53} \approx 0,0658$$

c) Dels apartats anteriors es té que la funció que ens dona la quantitat de $\ce{^{133}Ba}$ present en l’instant $t$, si s’ha començat amb una quantitat $y_0$, és: $$y_0 e^{-0{,}0658 \, t}$$

Volem calcular per a quin valor de $t$ es compleix que: $$y(t) = 1000 \cdot e^{-0{,}0658 \, t} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad e^{-0{,}0658 \, t} = \frac{1}{1000}$$ $$\quad -0{,}0658 \, t = \ln\left(\frac{1}{1000}\right) \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{-1}{0{,}0658} \cdot \ln\left(\frac{1}{1000}\right) \approx 105 \text{ anys}$$