Creixement cultiu de laboratori

En un cultiu de laboratori, el nombre de bacteris (mesurat en milions) durant les primeres 100 hores ve donat per: $$N(t) = 25 + t e^{-t/10}, \quad t \in [0, 100].$$ Determina els períodes de creixement i decreixement de la població així com els moments en què està assolint el seu màxim i el seu mínim absoluts.

Comencem per calcular la derivada de la funció $N(t)$:

$$N'(t) = 0 \cdot e^{-t/10} + t e^{-t/10} \left(-\frac{1}{10}\right) = e^{-t/10} \left(1 – \frac{t}{10}\right)$$

que s’anul·la si $1 – \frac{t}{10} = 0$, és a dir, per a $t = 10$.

Puesto que $e^{-t/10}$ és positiu $\forall t$, és fàcil veure que

$$\begin{cases}
N'(t) > 0 \text{ per a } t \in (0, 10) \\
N'(t) < 0 \text{ per a } t \in (10, 100)
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
N \text{ és creixent en } (0, 10) \\
N \text{ és decreixent en } (10, 100)
\end{cases}$$

En conseqüència, $N$ té un màxim en $t = 10$, que també és màxim absolut, ja que és monòtona a ambdós costats d’aquest punt.

El mínim absolut s’ha de buscar als extrems de l’interval, al no haver-hi mínims locals:

$$N(0) = 25 \quad \text{i} \quad N(100) = 25 + 100 e^{-100/10} = 25 + \frac{100}{e^{10}} \approx 25,0045$$

Per tant, el mínim absolut se situa en $t = 0$.