Problema taronjes valencianes. Inferència estadística

Un agricultor valencià ha determinat que el pes de les seues taronges segueix una distribució normal amb una desviació típica de $15$ grams. D’una mostra de $100$ taronges escollides a l’atzar, es calcula un pes mitjà per taronja de $210$ grams. a) Obtingueu l’interval de confiança del $93 \%$ per al pes mitjà d’una taronja. b) Quin és el nombre mínim de taronges que caldria considerar perquè l’error comès en estimar el pes mitjà per taronja, amb un nivell de confiança del $97 \%$, fos de $2$ grams?

a) Sia \(X\) la variable aleatòria que mesura el pes de les seues taronges, on \(X \sim N(\mu, 15)\). Tenim una mostra aleatòria:

• \(n = 100\) taronges
• \(\bar{x} = 210 \, \text{gr}\)
• \(\sigma = 15 \, \text{gr}\)
• Per a una confiança del $93\%$, el nivell de confiança és \(1 – \alpha = 0,93 \rightarrow \alpha = 0,07\).

\[P(Z \leq Z_{\alpha/2}) = 1 – \displaystyle\frac{\alpha}{2} = 0,965 \rightarrow \text{per tant, } Z_{\alpha/2} = Z_{0,035} = 1,81\].

Sabem que l’interval de confiança ve donat per:

\[ IC = \left( \bar{x} – Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right), \] on \(\sigma\) és la desviació típica poblacional, \(n\) és la mida mostral, i \(Z_{\alpha/2}\) és el valor corresponent a la taula normal per a una confiança \(1 – \alpha\).

Calculem l’interval de confiança:

\[ IC_{0,93}(\mu) = \left( 210 – 1,81 \frac{15}{\sqrt{100}}, 210 + 1,81 \frac{15}{\sqrt{100}} \right) = (207,285; 212,715). \] b) Per a una confiança del $97\%$, el nivell de confiança és \(1 – \alpha = 0,97 \rightarrow \alpha = 0,03\).

\(P(Z \leq Z_{\alpha/2}) = 1 – \frac{\alpha}{2} = 0,985 \rightarrow\) per tant, \(Z_{\alpha/2} = Z_{0,015} = 2,17\).

L’error \(E\) ve donat per:

\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \rightarrow Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 2 \rightarrow n > \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \rightarrow n > \left( \frac{2,17 \cdot 15}{2} \right)^2 \rightarrow n > 264,87. \]

Per tant, la mida mínima que ha de tenir la mostra ha de ser de 265 taronges.