Problema temps d’espera companyia de telefonia. Inferència estadística

El temps que els usuaris d’una companyia de telefonia mòbil han d’esperar perquè els atenguin al Servei d’Atenció al Client segueix una distribució normal amb una desviació típica de $2$ minuts. Una mostra aleatòria de $450$ persones dona com a resultat un temps mitjà d’espera de $14$ minuts. a) Obtenir l’interval de confiança del $93\%$ per al temps mitjà. b) Quin és el tamany mínim que ha de tenir la mostra perquè l’error comès en estimar la mitjana amb un nivell de confiança del $90\%$ sigui un terç del obtingut en l’apartat anterior?

a) Sigui \(X\) la variable aleatòria que mesura el temps que els usuaris d’una companyia de telefonia mòbil han d’esperar perquè els atenguin al Servei d’Atenció al Client, on \(X \sim N(\mu, 2)\).

Tenim una mostra aleatòria

• \(n = 450\) persones
• \(\bar{x} = 14\) minuts
• \(\sigma = 2\) minuts

Per a una confiança del $93\%$, el nivell de confiança és \(1 – \alpha = 0,93 \to \alpha = 0,07\).

\(P(Z \leq Z_{\alpha/2}) = 1 – \frac{\alpha}{2} = 0,965 \to\) per tant, \(Z_{\alpha/2} = Z_{0,035} = 1,81\).

Sabem que l’interval de confiança ve donat per:

\[ IC = \left( \bar{x} – Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right), \] on \(\sigma\) és la desviació típica poblacional, \(n\) és el tamany muestral i \(Z_{\alpha/2}\) és el valor corresponent a la taula normal per a una confiança \(1 – \alpha\).

Calculem l’interval de confiança:

$$\boxed{IC_{0,93}(\mu) = \left( 14 – 1,81 \frac{2}{\sqrt{450}}, 14 + 1,81 \frac{2}{\sqrt{450}} \right) = (13,829; 14,171)}$$

b) Per a una confiança del $90\%$, el nivell de confiança és \(1 – \alpha = 0,90 \to \alpha = 0,1\).

\(P(Z \leq Z_{\alpha/2}) = 1 – \frac{\alpha}{2} = 0,95 \to\) per tant, \(Z_{\alpha/2} = Z_{0,05} = 1,645\).

Calculem l’error comès en l’apartat a):

\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,81 \cdot \frac{2}{\sqrt{450}}. \]

L’enunciat ens demana que l’error sigui un terç del de l’apartat anterior:

\[ \frac{1}{3} \cdot 1,81 \cdot \frac{2}{\sqrt{450}} = 0,0569. \]

\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \to Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0,0569 \to n > \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \to n > \left( \frac{1,645 \cdot 2}{0,0569} \right)^2 \to n > 3343,23. \]

Per tant, el tamany mínim que ha de tenir la mostra és de 3344 persones.