Problema sobre tir parabòl·lic

A la meitat de la seva altura màxima, la velocitat d’un projectil és $\frac{3}{4}$ de la seva velocitat inicial. Quin angle forma el vector velocitat inicial amb l’horitzontal?

Primerament escriurem les equacions de l’espai i de la velocitat d’un tir parabòlic.

\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} &x = x_0+v_{0x}t \\ &y = y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\end{array}\right.\end{equation}

\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll} &v_x = \frac{dx}{dt}= v_{0x}t \\ &v_y = \frac{dy}{dt}= v_{0y}-gt\end{array}\right.\end{equation}

I aplicant les condicions inicials al problema:

\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ll} &v=\frac{3}{4}v_0 \\ &y=\frac{h}{2}\end{array}\right.
\end{equation}

L’altura màxima s’assolirà quan la component de la velocitat vertical sigui zero, és a dir:

\begin{equation}
v_y=0\longrightarrow0=v_{0y}-gt\longrightarrow \boxed{t}=\frac{v_{0y}}{g}=\boxed{\frac{v_0\cos\theta}{g}}
\end{equation}

Ara substituïm aquest valor de $t$ a l’equació de la $y$, per tal de calcular l’altura màxima i, ens queda com:

\begin{equation}
y=v_0\sin\theta\cdot\frac{v_0\sin\theta}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0\sin\theta}{g}\right)^2
\end{equation}

Simplificant, ens queda l’expressió de la $y$ tal com:

\begin{equation}
\boxed{y}=\frac{\left(v_0\sin\theta\right)^2}{g}-\frac{1}{2}\frac{\left(v_0\sin\theta\right)^2}{g}=\boxed{\frac{1}{2}\frac{\left(v_0\sin\theta\right)^2}{g}}
\end{equation}

A partir de l’equació que ens relaciona les velocitats amb l’acceleració i l’altura $v^2-v_0^2 = -2gy$, calcularem l’angle. Noteu que fiquem $-g$, ja que en les equacions del tir parabòlic hem considerat la gravetat com negativa

\begin{equation}
v^2-v_0^2 = -2gy
\end{equation}
\begin{equation}
\left(\frac{3}{4}v_0\right)^2-v_0^2=-2gy
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{9}{16}v_0^2-v^2_0=-2g\frac{1}{2}\frac{\left(v_0\sin\theta\right)^2}{2g}
\end{equation}
\begin{equation}
-\frac{7}{16}v_0^2=-\frac{1}{2}g\left(v_0\sin\theta\right)^2
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{7}{16}v^2_0=\frac{1}{2}v_0^2\sin^2\theta
\end{equation}
\begin{equation}
\sin^2\theta=\frac{14}{16}
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\theta=\sqrt{\frac{14}{16}}
\end{equation}

Resolent:

\begin{equation}
\boxed{\theta}= \arcsin\left(\sqrt{\frac{14}{16}}\right)=\boxed{69.3º}
\end{equation}