Problema sobre tir parabòlic 2

Llancem un cos obliquament cap amunt amb una velocitat de $40$ m/s que forma un angle de $60$º amb l’horitzontal. Calculeu: (a) l’abast horitzontal; (b) la velocitat $2$ segons després d’haver-lo llançat; (c) l’altura màxima; (d) l’equació de la trajectòria.

Per resoldre aquest problema, utilitzarem les equacions del moviment projectil, descomponent la velocitat inicial en les seves components horitzontal i vertical.

Dades del problema:

• Velocitat inicial: $v_0 = 40$ m/s
• Angle de llançament: $\theta = 60^\circ$
• Acceleració deguda a la gravetat: $g = 9.8$ m/s$^2$

Components de la velocitat inicial:

$$v_{0x} = v_0 \cos(\theta)$$
$$v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$$

Substituïm els valors donats:
$$v_{0x} = 40 \cos(60^\circ) = 40 \cdot 0.5 = 20 \text{ m/s}$$
$$v_{0y} = 40 \sin(60^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 40 \cdot 0.866 = 34.64 \text{ m/s}$$

(a) Abast horitzontal

L’abast horitzontal $R$ es calcula utilitzant la fórmula:
$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Substituïm els valors donats:
$$R = \frac{40^2 \sin(120^\circ)}{9.8}$$
$$R = \frac{1600 \cdot \sin(120^\circ)}{9.8}$$
$$\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$R = \frac{1600 \cdot 0.866}{9.8}$$
$$R \approx \frac{1385.6}{9.8}$$
$$R \approx 141.39 \text{ m}$$

(b) Velocitat 2 segons després d’haver-lo llançat

La velocitat en el temps $t = 2$ s es pot trobar utilitzant les components horitzontal i vertical de la velocitat:
$$v_x = v_{0x} = 20 \text{ m/s}$$
$$v_y = v_{0y} – g t = 34.64 – 9.8 \cdot 2$$
$$v_y = 34.64 – 19.6$$
$$v_y = 15.04 \text{ m/s}$$

La velocitat resultant $v$ és:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
$$v = \sqrt{20^2 + 15.04^2}$$
$$v = \sqrt{400 + 226.2016}$$
$$v \approx \sqrt{626.2016}$$
$$v \approx 25.03 \text{ m/s}$$

(c) Altura màxima

L’altura màxima $h_{\text{max}}$ es calcula utilitzant la component vertical de la velocitat:
$$v_{y\text{max}} = 0$$
$$v_{0y} = 34.64 \text{ m/s}$$

El temps per arribar a l’altura màxima $t_{\text{max}}$ és:
$$t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{34.64}{9.8} \approx 3.53 \text{ s}$$

L’altura màxima respecte al punt de llançament $h_{\text{max}}$ és:
$$h_{\text{max}} = v_{0y} t_{\text{max}} – \frac{1}{2} g t_{\text{max}}^2$$
$$h_{\text{max}} = 34.64 \cdot 3.53 – \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (3.53)^2$$
$$h_{\text{max}} = 122.73 – 61.02$$
$$h_{\text{max}} \approx 61.71 \text{ m}$$

(d) Equació de la trajectòria

L’equació de la trajectòria es pot expressar en funció de $x$ i $y$. Utilitzem les equacions del moviment:

La posició horitzontal $x$ en funció del temps $t$ és:
$$x = v_{0x} t$$
$$t = \frac{x}{v_{0x}}$$

La posició vertical $y$ en funció del temps $t$ és:
$$y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2$$

Substituïm $t = \frac{x}{v_{0x}}$ a l’equació de $y$:
$$y = v_{0y} \left(\frac{x}{v_{0x}}\right) – \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2$$
$$y = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} x – \frac{1}{2} g \left(\frac{x^2}{v_{0x}^2}\right)$$

Substituïm $v_{0x}$ i $v_{0y}$:
$$y = \frac{34.64}{20} x – \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot \left(\frac{x^2}{20^2}\right)$$
$$y = 1.732 x – \frac{4.9}{400} x^2$$
$$y = 1.732 x – 0.01225 x^2$$

Resum

(a) Abast horitzontal: $141.39$ m

(b) Velocitat $2$ segons després d’haver-lo llançat: $25.03$ m/s

(c) Altura màxima: $61.71$ m

(d) Equació de la trajectòria: $y = 1.732 x – 0.01225 x^2$