Problema Selectivitat Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 3

Un nedador és al mar en un punt N, situat a 3 km d’una platja recta, i just al davant d’un punt S, situat a la platja arran de l’aigua; i vol anar a un punt A, situat també arran de l’aigua i a 6 km del punt S, de manera que el triangle NSA és rectangle en el vèrtex S. El nedador neda a una velocitat constant de 3 km/h i camina a una velocitat constant de 5 km/h.

1. Si P és un punt entre el punt S i el punt A que està a una distància x de S, demostreu que el temps, en hores, que necessita el nedador per a nedar del punt N al punt P i caminar des del punt P fins al punt A és determinat per l’expressió $\displaystyle t(x) = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3} + \frac{6-x}{5}$.
   
   

Anomenem $s_1$ a la distància entre $N$ i $P$ i $s_2$ a la distància entre $P$ i $A$. Podem expressar aquestes dues distàncies en funció de $x$.

$$s_1=d(N,P)=\sqrt{x^2+9}\qquad s_2=d(P,A)=6-x$$
El temps que trigarà en total vindrà donat per l’expressió:

$$\displaystyle t(x)=\frac{s_1}{3}+\frac{s_2}{5}=\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{6-x}{5}$$

2. Calculeu el valor de x que determina el temps mínim que cal per a anar del punt N al punt A, passant per P. Quin és el valor d’aquest temps mínim?

Per a trobar el mínim de la funció $t(x)$ calculem primer la seva derivada.

$$\displaystyle t'(x)=\frac{x}{3\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{5}$$
I ara igualem a zero la derivada i resolem l’equació.

$$\displaystyle \begin{align} \frac{x}{3\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{5}=0 \quad &\Rightarrow 5x=3\sqrt{x^2+9} \\ &\Rightarrow 25x^2=9\left( x^2+9 \right)^2 \\ &\Rightarrow x^2=\frac{81}{16} \\ &\Rightarrow x=\pm\frac{9}{4}=\pm 2.25 \\ \end{align}$$
El valor negatiu $x=-2.25$ és una solució fictícia, ja que $t'(-2.25) = 0.4 \ne 0$. Per tan l’únic candidat a extrem és el valor $x=2.25$. Per a determinar que realment és un mínim fem una taula de monotonia.

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & \left(-\infty,\frac{9}{4} \right) & \frac{9}{4} & \left(\frac{9}{4},+\infty\right) \\ f'(x) & – & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$
Per tant el valor de $x$ que minimitza el temps és $2.25$ km. I el valor d’aquest temps mínim és de $2$ h.

$$t(2.25)=2$$