Problema sobre probabilitat

Siguin $A$ i $B$ dos successos aleatoris amb $p(A)=\cfrac{1}{2}$, $p(B)=\cfrac{1}{3}$, $p(A\cap B)=\cfrac{1}{4}$.

Determineu:

• $p(A/B)$ $$p(A/B)=\cfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\cfrac{\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{3}}=\cfrac{3}{4}$$

• $p(B/A)$ $$p(B/A)=\cfrac{p(B\cap A)}{p(A)}=\cfrac{\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{2}}=\cfrac {1}{2}$$

• $p(A\cup B)$ $$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{ 4}=\cfrac{7}{12}$$

• $p(\bar{A}/\bar{B})$ $$p(\bar{A}/\bar{B})=\cfrac{p(\bar{A}\cap \bar{B})}{p(\bar{B})}$$

Al numerador apliquem les lleis de Morgan

Al denominador apliquem la probabilitat del succés contrari

$$=\cfrac{p(\overline{A\cup B})}{1-p(B)}$$

Al numerador apliquem la probabilitat del succés contrari

$$=\cfrac{p(\overline{A\cup B})}{1-p(B)}=\cfrac{1-\cfrac{7}{12}}{1-\cfrac{1}{3} }=\cfrac{5}{8}$$

• $p(\bar{B}/\bar{A})$ $$p(\bar{B}/ \bar{A})=\cfrac{p(\bar{A}\cap \bar{B})}{p(\bar{A})}$$

Al numerador apliquem les lleis de Morgan

Al denominador apliquem la probabilitat del succés contrari

$$=\cfrac {p(\overline{A\cup B})}{1-p(A)}$$

Al numerador apliquem la probabilitat del succés contrari

$$=\cfrac {p(\overline{A\cup B})}{1-p(A)}=\cfrac{1-\cfrac{7}{12}}{1-\cfrac{1}{2} }=\cfrac{5}{6}$$