Problema sobre camp de potencial

Demostrar que en el camp de potencial del vector $\mathbf{a}$ la funció potencial $u(x, y, z)$ satisfà l’equació de Poisson: $$\Delta u \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \rho(x, y, z),$$ on $\rho(x, y, z)$ és la divergència del vector $\mathbf{a}$.

Seguint la condició:

$$\text{div} \mathbf{a} = \rho \tag{1} \label{eq:div}.$$

Com que el camp del vector $\mathbf{a}$ és potencial, aleshores $\mathbf{a} = \text{grad} u$, on $u$ obté el potencial del camp. Substituint-lo en (\ref{eq:div}), tenim:

$$\text{div} \mathbf{a} = \text{div grad} u = \rho,$$

per al cas particular, en els punts en què la divergència del camp en l’equació de Laplace $\Delta u = 0$. L’equació de Laplace–Poisson en la possibilitat de trobar la funció potencial $u$ mitjançant la integració de l’equació diferencial amb les derivades parcials. En molts casos, aquest mètode és més còmode.

Moltes vegades en electroestàtica prefereixen en lloc de la funció $u$ prendre la funció inversa per al signe $v = -u$. Aleshores $\mathbf{a} = -\text{grad} v$. De conformitat amb el que té lloc en la teoria del camp electroestàtic, l’equació de Poisson tindria la forma:

$$\Delta v = -4\pi \rho.$$