Problema sobre el camp electroestàtic

(El camp electroestàtic de la càrrega puntual). Mostrar que el camp electroestàtic $\mathbf{E}$ creat per una càrrega puntual $q$ que està col·locada en l’origen de coordenades: $$\mathbf{E} = \frac{q}{r^3} \mathbf{r}, \quad r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},$$ és el camp potencial.

El problema es planteja de la manera següent: mostrar que existeix la funció $\varphi(x, y, z)$ tal que es compleixen les proposicions següents:

$$P(x, y, z) = \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad Q(x, y, z) = \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad R(x, y, z) = \frac{\partial \varphi}{\partial z}.$$

En el nostre cas tenim:

$$P(x, y, z) = \frac{qx}{r^3}, \quad Q(x, y, z) = \frac{qy}{r^3}, \quad R(x, y, z) = \frac{qz}{r^3}.$$

Com que:

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{x}{r^3},$$

I per analogia:

$$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{r^3} \frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{y}{r^3},$$

$$\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{r^3} \frac{\partial r}{\partial z} = -\frac{z}{r^3},$$

aleshores la funció:

$$\varphi(x, y, z) = -\frac{q}{r} = -\frac{q}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

és el potencial del camp donat:

$$\text{grad} \left( -\frac{q}{r} \right) = \mathbf{E}.$$

En aquest exemple, l’origen de coordenades, on està concentrada la càrrega $q$, és el punt especial del camp $\mathbf{E}$.