Integral en el camp vectorial

Calcular el treball de les forces: $$\mathbf{F} = y \mathbf{i} + x \mathbf{j} + (x + y + z) \mathbf{k}$$ al llarg del tram $\overline{AB}$ de la recta que passa pels punts $M_1(2, 3, 4)$ i $M_2(3, 4, 5)$.

El treball del camp de forces donat serà igual a la integral lineal al llarg del tram $\overline{M_1 M_2}$:

$$A = \int_{M_1}^{M_2} (\mathbf{F}, d\mathbf{r}) = \int_{M_1}^{M_2} y \, dx + x \, dy + (x + y + z) \, dz.$$

Trobem les equacions canòniques de la recta $M_1 M_2$. Tenim:

$$\frac{x – 2}{1} = \frac{y – 3}{1} = \frac{z – 4}{1}.$$

D’aquí:

$$y = x + 1, \quad z = x + 2.$$

Aquí $x$ varia en els límits des de 2 fins a 3 (ja que la abscissa del punt $M_1$ és igual a $2$, i la del punt $M_2$ és igual a $3$). El treball buscat serà igual a:

$$A = \int_2^3 (x + 1 + x + x + 2) \, dx = \int_2^3 (3x + 3) \, dx = \frac{33}{2}.$$