Moviment d’un electró en un camp magnètic homogeni

Moviment d’un electró en un camp magnètic homogeni. Suposem que en un domini de l’espai s’ha creat un camp magnètic homogeni $\mathbf{H}$ amb una magnitud i direcció constants (camp magnètic). A un moment donat $t = t_0$, aquest camp és travessat per un electró amb una velocitat inicial ( \mathbf{v}_0$. Determinar la trajectòria de l’electró.

Suposem primerament que el vector $\mathbf{v}_0$ és perpendicular a $\mathbf{H}$ i que la posició inicial de l’electró és el punt $M_0$. Prenem el punt $O$ en un pla perpendicular arbitrari al vector $\mathbf{H}$. Sigui $\mathbf{r}_0$ el vector radi inicial $\overrightarrow{O M_0}$, $\mathbf{r}$ el vector radi de l’electró en un moment donat de temps $t$, i $\mathbf{v}$ la velocitat instantània en aquest mateix moment. L’equació diferencial bàsica del moviment és:

$$m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{F}.$$

La força $\mathbf{F}$ que actua sobre l’electró per part del camp magnètic en el moment $t$ és igual a:

$$\mathbf{F} = e_0 [\mathbf{v}, \mathbf{H}],$$

on $e_0$ és la magnitud absoluta de la càrrega de l’electró. D’aquesta manera:

$$m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = e_0 [\mathbf{v}, \mathbf{H}].$$

La força $\mathbf{F}$ és perpendicular a la velocitat i a la direcció del camp $\mathbf{H}$ en cada moment; per tant, aquesta força desvia l’electró en cada moment del seu moviment rectilini, traçant una trajectòria curvilínia.

Escrivim l’equació (7) en la forma de:

$$m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = e_0 \left[ \frac{d\mathbf{r}}{dt}, \mathbf{H} \right]$$

i l’integrem respecte a $t$, des de $t_0$ fins a $t$. Obtindrem:

$$m \mathbf{v} – m \mathbf{v}_0 = e_0 [\mathbf{r}, \mathbf{H}] – e_0 [\mathbf{r}_0, \mathbf{H}],$$

$$m \mathbf{v} = e_0 [\mathbf{r}, \mathbf{H}] + (m \mathbf{v}_0 – e_0 [\mathbf{r}_0, \mathbf{H}]).$$

Escollim ara l’origen de coordenades $O’$ de tal manera que el terme entre parèntesis del segon membre (8) s’anul·li, és a dir:

$$e_0 [\mathbf{r}_0, \mathbf{H}] = m \mathbf{v}_0.$$

De (9) es dedueix que el vector inicial $\mathbf{r}_0$ ha de ser perpendicular al pla format pels vectors $\mathbf{v}_0$ i $\mathbf{H}$. D’aquest mòdul $M_0 K$, que és perpendicular a (9), ha de complir l’expressió:

$$e_0 |\mathbf{r}_0| |\mathbf{H}| = m |\mathbf{v}_0|,$$

d’on:

$$|\mathbf{r}_0| = \frac{m}{e_0 |\mathbf{H}|} |\mathbf{v}_0|.$$

Així es determina la posició del nou origen $O’$. Respecte a ell, l’equació (8) s’escriu com:

$$m \mathbf{v} = e_0 [\mathbf{r}, \mathbf{H}],$$

o bé:

$$m \frac{d\mathbf{r}}{dt} = e_0 [\mathbf{r}, \mathbf{H}].$$

De l’equació (11) es dedueix que la trajectòria de l’electró serà una corba plana que es troba en el pla $P$, perpendicular a $\mathbf{H}$, ja que els vectors $\mathbf{r}$ i $\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ són perpendiculars al producte vectorial (12):

$$m \left( \mathbf{r}, \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = e_0 (\mathbf{r}, [\mathbf{r}, \mathbf{H}]).$$

El producte mixt del segon membre (13) és igual a zero, de manera que:

$$\left( \mathbf{r}, \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = 0.$$

D’aquí:

$$\frac{d}{dt} (r^2) = 0 \quad \text{o} \quad \frac{d}{dt} (r^2) = 0, \quad \text{és a dir, } r^2 = \text{const}.$$

Això vol dir que la corba és una circumferència en el pla $P$, amb el centre en un punt $O’$ que s’escull de manera que el radi de la circumferència es determini amb la fórmula (10), i el punt inicial $M_0$ també ha d’estar en aquesta circumferència. Així, definitivament:

$$r = r_0 = \frac{m}{e_0} \left| \frac{v_0}{H} \right|.$$

D’aquesta manera, si un electró es mou en un camp magnètic homogeni $\mathbf{H}$ amb una velocitat inicial $\mathbf{v}_0$ que és perpendicular a $\mathbf{H}$, aquest traçarà en aquest camp una trajectòria circular en el pla $P$ que és perpendicular a $\mathbf{H}$, determinada per la fórmula (10), i el seu centre $O’$ es troba en la recta perpendicular al pla format pels vectors $\mathbf{v}_0$ i $\mathbf{H}$. Al mateix temps, el gir de $\mathbf{v}_0$ a $\mathbf{H}$ ha de ser vist des del punt $O’$ en sentit antihorari.

De la fórmula (10) es veu que el radi $r_0$ de la circumferència és inversament proporcional a $|\mathbf{H}|$. D’aquesta manera, com més fort és la intensitat del camp magnètic, major és la curvatura de la trajectòria.

De la fórmula (11):

$$m \mathbf{v} = e_0 [\mathbf{r}, \mathbf{H}],$$

es veu que si $\mathbf{r}$ és constant en el seu mòdul i tot el temps és perpendicular a $\mathbf{H}$, llavors la velocitat $\mathbf{v}$ és constant en la magnitud:

$$|\mathbf{v}| = v_0 = \text{const}.$$

De la fórmula (11) es dedueix que la trajectòria de l’electró serà una corba plana que es troba en el pla $P$, perpendicular a $\mathbf{H}$, i el moviment serà uniforme. El període de revolució $T$ és igual a:

$$T = \frac{2\pi r_0}{v_0} = \frac{2\pi}{e_0} \frac{m}{|\mathbf{H}|}.$$

La velocitat inicial $v_0$ no entra en aquesta fórmula. D’aquesta manera, independentment de quin sigui el valor de la velocitat inicial $v_0$, perpendicular a $\mathbf{H}$, un electró en un camp magnètic homogeni realitzarà una revolució per òrbita sempre en el mateix temps $T$, independentment de la magnitud $v_0$.

2. Suposem ara que l’electró es troba en un camp magnètic homogeni $\mathbf{H}$ amb qualsevol velocitat inicial $\mathbf{v}$ que no és perpendicular al vector $\mathbf{H}$. Aleshores, aquesta velocitat $\mathbf{v}$ es pot descompondre en dos components: el vector $\mathbf{v}_0$ dirigit perpendicularment al camp i el vector $\mathbf{v}_1$ dirigit al llarg del camp.

De la fórmula:

$$\mathbf{F} = e_0 [\mathbf{v}, \mathbf{H}] = e_0 [\mathbf{v}_0, \mathbf{H}],$$

es veu que la força $\mathbf{F}$ només depèn de la component perpendicular $\mathbf{v}_0$ i que aquesta determina la part del moviment rotatori per un cercle (amb el centre en $O’$), que hem examinat abans. Respecte a la segona component, $\mathbf{v}_1$, l’electró fa una trajectòria circular uniforme tendra també un moviment rectilini uniforme al llarg de la direcció $\mathbf{H}$ amb una velocitat $\mathbf{v}_1 = |\mathbf{v}| \cos \alpha$. La combinació d’aquests moviments produirà una línia helicoidal amb eix paral·lel al vector $\mathbf{H}$, que passa pel punt $O’$.