Problema de Geometria Analítica: Rectes i Plans

Donats el pla \( \pi \) d’equació \( x + 2y + 3z – 1 = 0 \), la recta \( r \) d’equacions\[\begin{cases}x = 2z – 3 \\y = z + 4\end{cases}\]i el punt \( P = (2, 1, 1) \), calculeu: a) Unes equacions de la recta que passa per \( P \) i és perpendicular a \( \pi \). b) L’equació del pla que passa per \( P \) i és perpendicular a la recta \( r \). c) Unes equacions de la recta que passa per \( P \) i talla perpendicularment \( r \). d) Unes equacions de la recta que passa per \( P \), és paral·lela al pla \( \pi \) i tal que el seu vector director és perpendicular al de \( r \).

Dades inicials:

1. Pla \( \pi \): Equació \( x + 2y + 3z – 1 = 0 \).

• Vector normal: \( \vec{n}_\pi = (1, 2, 3) \).

2. Recta \( r \): Equacions: \[ x = 2z – 3, \quad y = z + 4 \]

• En forma paramètrica (\( z = t \)): \[ x = 2t – 3, \quad y = t + 4, \quad z = t \]

• Vector director: \( \vec{v}_r = (2, 1, 1) \).

• Punt de la recta (\( t = 0 \)): \( Q = (-3, 4, 0) \).

3. Punt \( P \): \( P = (2, 1, 1) \).

a) Equacions de la recta que passa per \( P \) i és perpendicular a \( \pi \). Una recta perpendicular a un pla té com a vector director el vector normal del pla.

• Vector director: \( \vec{n}_\pi = (1, 2, 3) \).

• Punt: \( P = (2, 1, 1) \).

Equacions paramètriques:\[x = 2 + t, \quad y = 1 + 2t, \quad z = 1 + 3t\]

Resposta a): \[x = 2 + t, \quad y = 1 + 2t, \quad z = 1 + 3t\]

b) Equació del pla que passa per \( P \) i és perpendicular a la recta \( r \).Un pla perpendicular a una recta té com a vector normal el vector director de la recta.

• Vector normal: \( \vec{v}_r = (2, 1, 1) \).

• Punt: \( P = (2, 1, 1) \).

Equació del pla: \( 2x + y + z + d = 0 \). Substituint \( P \):\[2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + d = 0 \implies 4 + 1 + 1 + d = 0 \implies d = -6\]Equació:\[2x + y + z – 6 = 0\]

Resposta b): \[2x + y + z – 6 = 0\]

c) Equacions de la recta que passa per \( P \) i talla perpendicularment \( r \).La recta \( s \) ha de passar per \( P \), tallar \( r \) en un punt \( R \), i el vector director de \( s \) ha de ser perpendicular a \( \vec{v}_r = (2, 1, 1) \).

1. Parametrització de \( r \): \[ x = 2t – 3, \quad y = t + 4, \quad z = t \] Punt \( R \): \( (2t – 3, t + 4, t) \).

2. Vector director de \( s \) (de \( P(2, 1, 1) \) a \( R \)): \[ \vec{v}_s = (2t – 3 – 2, t + 4 – 1, t – 1) = (2t – 5, t + 3, t – 1) \]

3. Condició de perpendicularitat: \( \vec{v}_s \cdot \vec{v}_r = 0 \): \[ (2t – 5) \cdot 2 + (t + 3) \cdot 1 + (t – 1) \cdot 1 = 0 \] \[ 4t – 10 + t + 3 + t – 1 = 0 \implies 6t – 8 = 0 \implies t = \frac{4}{3} \]4. Punt \( R \) (\( t = \frac{4}{3} \)): \[ x = 2 \cdot \frac{4}{3} – 3 = -\frac{1}{3}, \quad y = \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3}, \quad z = \frac{4}{3} \] \( R = \left(-\frac{1}{3}, \frac{16}{3}, \frac{4}{3}\right) \).5. Vector director de \( s \): \[ \vec{v}_s = \left(-\frac{1}{3} – 2, \frac{16}{3} – 1, \frac{4}{3} – 1\right) = \left(-\frac{7}{3}, \frac{13}{3}, \frac{1}{3}\right) \] Simplificant: \( \vec{v}_s = (-7, 13, 1) \).6. Equacions paramètriques de \( s \): \[ x = 2 – 7u, \quad y = 1 + 13u, \quad z = 1 + u \]

Resposta c): \[x = 2 – 7u, \quad y = 1 + 13u, \quad z = 1 + u\]

d) Equacions de la recta que passa per \( P \), és paral·lela al pla \( \pi \) i el seu vector director és perpendicular al de \( r \). El vector director \( \vec{v}_s = (a, b, c) \) ha de ser:

• Perpendicular a \( \vec{n}_\pi = (1, 2, 3) \): \( a + 2b + 3c = 0 \).

• Perpendicular a \( \vec{v}_r = (2, 1, 1) \): \( 2a + b + c = 0 \).Resolem:\[\begin{cases}a + 2b + 3c = 0 \\2a + b + c = 0\end{cases}\]

• De la segona: \( b = -2a – c \).

• Substituint a la primera: \[ a + 2(-2a – c) + 3c = 0 \implies a – 4a – 2c + 3c = 0 \implies -3a + c = 0 \implies c = 3a \]

• Substituint \( c = 3a \): \[ b = -2a – 3a = -5a \]Vector director: \( \vec{v}_s = (a, -5a, 3a) \). Prenem \( a = 1 \): \( \vec{v}_s = (1, -5, 3) \).

Equacions paramètriques:\[x = 2 + t, \quad y = 1 – 5t, \quad z = 1 + 3t\]

Resposta d): \[x = 2 + t, \quad y = 1 – 5t, \quad z = 1 + 3t\]

Resum de respostes:

a) \( x = 2 + t, \quad y = 1 + 2t, \quad z = 1 + 3t \)

b) \( 2x + y + z – 6 = 0 \)

c) \( x = 2 – 7u, \quad y = 1 + 13u, \quad z = 1 + u \)

d) \( x = 2 + t, \quad y = 1 – 5t, \quad z = 1 + 3t \)