Problema de Dinàmica Orbital d’un Satèl·lit

Un satèl·lit de 2 · 10³ kg de massa gira al voltant de la Terra en una òrbita circular de 2 · 10⁴ km de radi. a) Sabent que la gravetat a la superfície de la Terra val \( g_0 = 9,8 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \), quin serà el valor de la gravetat en aquesta òrbita? b) Quant val la velocitat angular del satèl·lit? c) Si per alguna circumstància la velocitat del satèl·lit es fes nul·la, aquest començaria a caure sobre la Terra. Amb quina velocitat arribaria a la superfície terrestre? Suposeu negligible l’efecte del fregament amb l’aire. Dada: Radi de la Terra: \( R_T = 6.370 \, \text{km} \).

Dades inicials:

• Massa del satèl·lit: \( m = 2 \cdot 10^3 \, \text{kg} \) (no es necessita per a la majoria de càlculs).

• Radi de l’òrbita: \( r = 2 \cdot 10^4 \, \text{km} = 2 \cdot 10^7 \, \text{m} \).

• Gravetat a la superfície terrestre: \( g_0 = 9,8 \, \text{m/s}^2 \).

• Radi de la Terra: \( R_T = 6.370 \, \text{km} = 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m} \).

• Constant de gravitació universal: \( G = 6,674 \cdot 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \).

• Massa de la Terra (calculada si cal): \( M_T = \frac{g_0 R_T^2}{G} \).

a) Valor de la gravetat en l’òrbita. La força gravitatòria segueix la llei de Newton:\[ g(r) = \frac{G M_T}{r^2} \]A la superfície terrestre (\( r = R_T \)):\[ g_0 = \frac{G M_T}{R_T^2} = 9,8 \, \text{m/s}^2 \]Per tant:\[ g(r) = g_0 \cdot \left( \frac{R_T}{r} \right)^2 \]Substituint:\[ R_T = 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m}, \quad r = 2 \cdot 10^7 \, \text{m} \]\[ \frac{R_T}{r} = \frac{6,37 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^7} = 0,3185 \]\[ g(r) = 9,8 \cdot (0,3185)^2 = 9,8 \cdot 0,1014 \approx 0,994 \, \text{m/s}^2 \]

Resposta a): La gravetat en l’òrbita és 0,994 m/s².

b) Velocitat angular del satèl·lit. En una òrbita circular, la força gravitatòria proporciona l’acceleració centrípeta:\[ \frac{G M_T}{r^2} = \omega^2 r \]Reorganitzant:\[ \omega^2 = \frac{G M_T}{r^3} \]Com que \( G M_T = g_0 R_T^2 \):\[ \omega^2 = \frac{g_0 R_T^2}{r^3} \]Substituint:\[ g_0 = 9,8 \, \text{m/s}^2, \quad R_T = 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m}, \quad r = 2 \cdot 10^7 \, \text{m} \]\[ R_T^2 = (6,37 \cdot 10^6)^2 = 4,056 \cdot 10^{13} \, \text{m}^2 \]\[ r^3 = (2 \cdot 10^7)^3 = 8 \cdot 10^{21} \, \text{m}^3 \]\[ \omega^2 = \frac{9,8 \cdot 4,056 \cdot 10^{13}}{8 \cdot 10^{21}} = 4,969 \cdot 10^{-8} \, \text{s}^{-2} \]\[ \omega = \sqrt{4,969 \cdot 10^{-8}} \approx 2,23 \cdot 10^{-4} \, \text{rad/s} \]

Resposta b): La velocitat angular és 2,23 × 10⁻⁴ rad/s.

c) Velocitat d’impacte a la superfície terrestre. Si la velocitat del satèl·lit es fa nul·la, cau cap a la Terra. Utilitzem la conservació de l’energia mecànica. Energia inicial (en l’òrbita, velocitat nul·la): \[ U_i = -\frac{G M_T m}{r} \] Energia final (a la superfície):\[ E_f = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_T m}{R_T} \]Conservació de l’energia:\[ -\frac{G M_T m}{r} = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{G M_T m}{R_T} \]Simplificant:\[ v^2 = 2 G M_T \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{r} \right) \]Substituint \( G M_T = g_0 R_T^2 \):\[ v^2 = 2 g_0 R_T^2 \cdot \frac{r – R_T}{R_T r} = 2 g_0 R_T \cdot \frac{r – R_T}{r} \]Substituint:\[ r – R_T = 2 \cdot 10^7 – 6,37 \cdot 10^6 = 1,363 \cdot 10^7 \, \text{m} \]\[ \frac{r – R_T}{r} = \frac{1,363 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^7} = 0,6815 \]\[ v^2 = 2 \cdot 9,8 \cdot 6,37 \cdot 10^6 \cdot 0,6815 \approx 8,506 \cdot 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]\[ v = \sqrt{8,506 \cdot 10^7} \approx 9,22 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \approx 9,22 \, \text{km/s} \]

Resposta c): La velocitat d’impacte és 9,22 km/s.

Resum de respostes:

a) Gravetat en l’òrbita: 0,994 m/s².

b) Velocitat angular: 2,23 × 10⁻⁴ rad/s.

c) Velocitat d’impacte: 9,22 km/s.