Càlcul del potencial generat per un fil conductor sobre un punt de l’espai

Una corrent elèctrica d’intensitat \( I \) flueix de baix cap amunt per un cable infinit que coincideix amb l’eix \( \mathrm{Oz} \). Cal trobar el vector \( \mathbf{H} \) de la intensitat del camp magnètic creat per aquesta corrent en un punt arbitrari \( M(x, y, z) \) de l’espai (figura).

Considerem un element prou petit \( P P_1 = d\zeta \) de l’eix \( \mathrm{Oz} \). Segons la llei de Biot-Savart, la direcció de la intensitat \( d\mathbf{H} \) del camp magnètic creat en el punt \( M \) per la corrent que flueix per un element \( d\zeta \) del cable infinit coincideix amb el producte vectorial \( [d\zeta, \mathbf{r}_1] \), on \( d\zeta = \overrightarrow{P P_1} \), \( |d\zeta| = d\zeta \), \( \mathbf{r}_1 = \overrightarrow{P M} \). D’acord amb aquesta mateixa llei, el mòdul del vector \( d\mathbf{H} \) és:\[|d\mathbf{H}| = \frac{I}{r_1^2} \sin(\overrightarrow{d\zeta}, \overrightarrow{\mathbf{r}_1}) d\zeta,\]on \( (\overrightarrow{d\zeta}, \overrightarrow{\mathbf{r}_1}) \) és l’angle format pels vectors \( d\zeta \) i \( \mathbf{r}_1 \). Com que:\[|[d\zeta, \mathbf{r}_1]| = r_1 d\zeta \sin(\overrightarrow{d\zeta}, \overrightarrow{\mathbf{r}_1}),\]es pot escriure:\[d\mathbf{H} = \frac{I}{r_1^3} [d\zeta, \mathbf{r}_1\tag{1}\label{eq:h}].\]Per obtenir el vector \( \mathbf{H} \) cercat en el punt \( M \), cal sumar tots els vectors \( d\mathbf{H} \) corresponents als diferents elements \( P P_1 \).

del cable infinit, és a dir, s’ha d’integrar l’expressió (\ref{eq:h}) al llarg de l’eix \( \mathrm{Oz} \):\[\mathbf{H} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{I}{r_1^3} [d\zeta, \mathbf{r}_1].\tag{2}\label{eq:int}\]Tenim:\[\mathbf{r}_1 = \overrightarrow{OM} – \overrightarrow{OP}.\]Però:\[\overrightarrow{OM} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}, \quad \overrightarrow{OP} = \zeta \mathbf{k},\]per tant:\[\mathbf{r}_1 = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + (z – \zeta) \mathbf{k}.\]Llavors:\[r_1 = |\mathbf{r}_1| = \sqrt{x^2 + y^2 + (z – \zeta)^2} = \sqrt{\rho^2 + (z – \zeta)^2},\]on \( \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \) és la distància des del punt \( M \) fins a l’eix del cable. Per al producte vectorial \( [d\zeta, \mathbf{r}_1] \), tenim:\[[d\zeta, \mathbf{r}_1] = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & 0 & d\zeta \\x & y & z – \zeta\end{vmatrix} = -\mathbf{i} y d\zeta + \mathbf{j} x d\zeta,\]i la fórmula (\ref{eq:int}) pren la forma (el punt \( M(x, y, z) \) és fix, \( I = \text{const} \)).

\[\mathbf{H} = I (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d\zeta}{\left[\rho^2 + (z – \zeta)^2\right]^{3/2}}\tag{3}\label{eq:int2}\]

Per calcular la integral en el segon membre de (\ref{eq:int2}), fem el canvi de variables:\[\zeta – z = \rho \tan t, \quad d\zeta = \frac{\rho dt}{\cos^2 t}.\]Llavors:\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d\zeta}{\left[\rho^2 + (z – \zeta)^2\right]^{3/2}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\rho dt}{\cos^2 t \left(\rho^2 + \rho^2 \tan^2 t\right)^{3/2}} = \frac{1}{\rho^2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos t \, dt = \frac{2}{\rho^2}.\]

Així doncs, en aquest cas, el vector de la intensitat \( \mathbf{H} \) del camp magnètic ve donat per la fórmula:\[\mathbf{H} = \frac{2I}{\rho^2} (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}), \quad \text{o bé} \quad \mathbf{H} = \frac{2}{\rho^2} [\mathbf{I}, \mathbf{r}],\]on \( \mathbf{I} = I \cdot \mathbf{k} \) és el vector de corrent, \( \mathbf{r} \) és el vector de posició del punt \( M(x, y, z) \) del camp i \( \rho \) és la distància des del punt \( M \) fins a l’eix del cable.