Força mínima i equilibri en superfícies rugoses

Sobre la superfície horitzontal rugosa d’una taula horitzontal rugosa hi ha una barra (fig. 1.5, vista superior). Quina força horitzontal mínima \( F \), perpendicular a la barra, s’ha d’aplicar per moure-la? El coeficient de fregament és \( \mu \) i la massa de la barra és \( m \).

Sia \( \rho \) la densitat lineal de la barra, \( AB = 2l \) la seva longitud, i \( C \) el seu centre de masses. El moviment inicial de la barra, mantenint la perpendicularitat de la força \( \vec{F} \) respecte a \( AB \), serà un dels següents:

1. Moviment de translació en la direcció de la força \( \vec{F} \);
2. Rotació instantània amb centre instantani de velocitats (CIV) en algun lloc de la línia \( AB \) (punt \( P \) de la figura 1.5).

És clar que, en el cas 1r, perquè la barra comenci a moure’s és necessari que

$$
F \geqslant \mu m g = F_{\min}^{(1)}.
$$

Analitzem el cas 2n. Fem ( PC = z ). Aleshores, l’equació dels moments per al punt ( P ), tenint en compte les forces de fregament, serà

$$
\sum M_P = F(l + z) – \int_{0}^{l + z} \mu \rho g x \, dx – \int_{0}^{l – z} \mu \rho g x \, dx, \quad z \in [0, l]
$$

o bé

$$
\sum M_P = F(l + z) – \frac{\mu \rho g}{2} \left[ (l – z)^2 + (l + z)^2 \right] =
$$

$$
= F(l + z) – \mu \rho g (l^2 + z^2).
$$

Perquè comenci el moviment és necessari que es compleixi la desigualtat ( \sum M_P \geqslant 0 ), per la qual cosa

$$
F \geqslant F_{\min}^{(2)} = \min_{0 \leqslant z \leqslant l} \frac{\mu \rho g (l^2 + z^2)}{l + z}.
$$

La funció$$\frac{(l^2 + z^2)}{(l + z)}$$assoleix el mínim en el punt \( z = l(\sqrt{2} – 1) \). D’aquesta manera,$$F \geqslant F_{\min}^{(2)} = \mu \rho g \cdot 2l \cdot \frac{2 – \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \mu g m (\sqrt{2} – 1).$$És evident que$$F_{\min}^{(2)} < F_{\min}^{(1)}.$$A més, es pot demostrar que és més convenient aplicar la força \( F \) als extrems \( A \) i \( B \). El cas \( z \geqslant l \) condueix a la relació$$F \geqslant \mu m g \frac{z}{z + l} \geqslant \frac{\mu m g}{2},$$la qual és, evidentment, pitjor que l’obtinguda$$\mu m g (\sqrt{2} – 1) \approx 0,41 \mu m g.$$Les situacions quan \( P \) es troba a l’altre costat del punt \( C \) s’analitzen de manera anàloga i condueixen a resultats pitjors.Es pot proposar la següent generalització del problema. Trobar la força mínima (de menor mòdul) \( \vec{F} \), capaç de moure la barra, sense exigir la perpendicularitat d’aquesta força respecte a la barra. Resulta (la demostració és molt voluminosa) que la força mínima ha de ser, obligatòriament, perpendicular a la barra, és a dir, la presència d’una component de la força \( \vec{F} \) al llarg de la barra empitjora el resultat (és a dir, només augmenta el mòdul de la força \( \vec{F} \) capaç de moure la barra!).Com a conclusió, assenyalem que el problema formulat considera el procés de transició de la força de fregament estàtic a la força de fregament cinètic. Per això, aquí és necessari tenir en compte que el coeficient de fregament \( \mu \) pot, en general, experimentar un canvi a salts. A més, la força de fregament estàtic, aplicada a un tros elemental \( d \) de la barra, està dirigida en contra de la resultant de les forces externes que actuen sobre el tros elemental. D’altra banda, la força de fregament cinètic actua en direcció contrària a la velocitat adquirida pel tros elemental (com es va suposar en resoldre aquest problema). La consideració de les circumstàncies descrites complica notablement el problema.