Anàlisi del Funcionament d’un Reproductor de Disc Compacte: Velocitat Angular i Revolucions

En un disc compacte (figura), la informació d’àudio s’emmagatzema digitalment en una sèrie de depressions (pits) i àrees planes a la superfície del disc. Les alternances entre depressions i àrees planes a la superfície representen uns i zeros binaris per ser llegits pel reproductor de CD i convertir-se de nou en ones sonores. Les depressions i àrees planes es detecten mitjançant un sistema que consta d’un làser i lents. La longitud d’una cadena d’uns i zeros que representa una porció d’informació és la mateixa a qualsevol part del disc, sigui que la informació estigui a prop del centre del disc o a prop del seu bord exterior. D’aquesta manera, perquè aquesta longitud d’uns i zeros sempre passi pel sistema làser-lent en el mateix interval de temps, la rapidesa tangencial de la superfície del disc a la posició de la lent ha de ser constant. D’acord amb l’equació, la rapidesa angular ha de variar a mesura que el sistema làser-lent es mou radialment al llarg del disc. En un reproductor de CD comú, la rapidesa constant de la superfície al punt del sistema làser-lent és de 1,3 m/s.
A) Trobeu la rapidesa angular del disc en revolucions per minut quan la informació es llegeix des de la primera pista més interna ($r = 23 \, \text{mm}$) i la pista final més externa ($r = 58 \, \text{mm}$).
B) El temps màxim de reproducció d’un disc de música estàndard és de 74 min i 33 s. Quantes revolucions realitza el disc durant aquest temps?

Dades donades:

• Velocitat tangencial constant ($v$) = 1,3 m/s
• Radi de la pista interna ($r_i$) = 23 mm = 0,023 m
• Radi de la pista externa ($r_f$) = 58 mm = 0,058 m
• Temps màxim de reproducció = 74 min 33 s = (74 × 60 + 33) s = 4473 s

Relacions bàsiques:

La velocitat tangencial es relaciona amb la velocitat angular ($\omega$) i el radi ($r$) mitjançant:

$$v = \omega r$$

Des d’aquí, la velocitat angular es:

$$\omega = \frac{v}{r}$$

També sabem que 1 revolució = $2\pi$ radians, i per convertir de radians per segon a revolucions per minut (rpm), utilitzem:

$$\text{rpm} = \frac{\omega \cdot 60}{2\pi}$$

A) Rapidesa angular del disc en revolucions per minut (rpm)

Pista interna ($r = 0,023 \, \text{m}$):

$$\omega_i = \frac{v}{r_i} = \frac{1,3}{0,023} \approx 56,52 \, \text{rad/s}$$

Convertim a rpm:
$$\text{rpm}_i = \frac{56,52 \cdot 60}{2\pi} \approx \frac{3391,2}{6,2832} \approx 539,7 \, \text{rpm}$$

Pista externa ($r = 0,058 \, \text{m}$):

$$\omega_f = \frac{v}{r_f} = \frac{1,3}{0,058} \approx 22,41 \, \text{rad/s}$$

Convertim a rpm:
$$\text{rpm}_f = \frac{22,41 \cdot 60}{2\pi} \approx \frac{1344,6}{6,2832} \approx 214,0 \, \text{rpm}$$

Resposta A:

• Rapidesa angular a la pista interna: 539,7 rpm
• Rapidesa angular a la pista externa: 214,0 rpm

B) Nombre de revolucions durant el temps de reproducció

El temps total de reproducció és 4473 s. Com que la velocitat angular varia entre $\omega_i$ i $\omega_f$, i no se’ns dona una funció explícita de com canvia $\omega$ amb el temps, assumirem una velocitat angular mitjana per estimar el nombre total de revolucions. La velocitat angular mitjana ($\omega_{\text{mitjana}}$) es pot aproximar com la mitjana aritmètica de les velocitats angulars a les pistes interna i externa:

$$\omega_{\text{mitjana}} = \frac{\omega_i + \omega_f}{2} = \frac{56,52 + 22,41}{2} \approx 39,465 \, \text{rad/s}$$

El nombre de revolucions totals ($N$) es calcula com:

$$N = \omega_{\text{mitjana}} \cdot t$$

En radians:
$$\theta = \omega_{\text{mitjana}} \cdot t = 39,465 \cdot 4473 \approx 176532 \, \text{radians}$$

Convertim a revolucions (1 revolució = $2\pi$ radians):
$$N = \frac{176532}{2\pi} \approx \frac{176532}{6,2832} \approx 28100 \, \text{revolucions}$$

Resposta B:

El disc realitza aproximadament 28100 revolucions durant els 74 minuts i 33 segons.