Problema Selectivitat Juny de 2016 – Sèrie 3 – Qüestió 1

Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

$$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x-ky&=&-1\\-2x&=&k+1 \end{array} \right\rbrace$$

1. Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real $k$.

La matriu del sistema i la matriu ampliada són

$$(M’)=(M|b)=\left(\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&-k&0\\-2&0&0\end{array}\;\;\right|\left.\begin{array}{c}-7\\-1\\k+1\end{array}\right)$$

Calculem el determinant de $M$:

$$|M|=\left|\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&-k&0\\-2&0&0\end{array}\;\;\right|=-8k$$

Aquest determinant s’anul·la només quan $k=0$:

$$|M|=0 \quad\Rightarrow\quad k=0$$

Per tant quan $k\ne0$ el sistema serà un sistema compatible determinat i falta per discutir el cas $k=0$. En aquest cas el sistema és:

$$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x&=&-1\\-2x&=&1 \end{array} \right\rbrace$$

La segona equació i la tercera són proporcionals. Podem prescindir d’una d’elles. El sistema i les seves matrius ara són:

$$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x&=&-1 \end{array} \right\rbrace$$

$$(M’)=(M|b)=\left(\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&0&0\end{array}\;\;\right|\left.\begin{array}{c}-7\\-1\end{array}\right)$$

Com que $\text{rang}M=\text{rang}M’=2$ i $n=3$, aquest sistema és un sistema compatible indeterminat amb 1 grau de llibertat.

En resum:

$$\begin{array}{lll} k\ne0 & \Rightarrow & \mathsf{S.C.D.} \\ k=0 & \Rightarrow & \mathsf{S.C.I.\,amb\,1\,grau\,de\,llibertat} \end{array}$$

1. Resoleu el sistema per al cas k=0.

Hem de resoldre el sistema:

$$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x&=&-1 \end{array} \right\rbrace$$
De la segona equació obtenim:

$$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$$
Substituïm a la primera equació i aillem la $y$

$$\displaystyle 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+4y+4z=-7 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{-3-2z}{2}$$
Per tant, les solucions en el cas $k=0$ són els punts de la forma: $$\displaystyle \left(-\frac{1}{2},\frac{-3-2z}{2},z \right)$$