Problema probabilitat i combinatòria

En una sala on hi ha 20 persones, 14 llegeixen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan ambdues coses. Si seleccionem dues persones de la sala a l’atzar, calcula la probabilitat que: a) Les dues prenguin cafè i no llegeixin el diari. b) Les dues només facin una de les dues coses. c) Cap de les dues no faci res. d) Les dues facin ambdues coses.

En una sala hi ha 20 persones: 14 llegeixen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan ambdues coses. Si seleccionem dues persones a l’atzar, calculem la probabilitat que:

Dades inicials

• Total de persones: $20$.
• Llegeixen el diari $L$: $14$.
• Prenen cafè $C$: $10$.
• Fan ambdues coses $L \cap C$: $8$.

Calculem:

• Només llegeixen el diari: $14 – 8 = 6$.
• Només prenen cafè: $10 – 8 = 2$.
• Fan alguna cosa (L $\cup$ C): $14 + 10 – 8 = 16$.
• No fan res: $20 – 16 = 4$.

Total de parelles possibles: \[ \displaystyle\binom{20}{2} = \displaystyle\frac{20 \cdot 19}{2} = 190 \]

a) Les dues prenguin cafè i no llegeixin el diari. Només prenen cafè: 2 persones. \[ \displaystyle\binom{2}{2} = 1 \] \[ P(a) = \frac{\displaystyle\binom{2}{2}}{\displaystyle\binom{20}{2}} = \displaystyle\frac{1}{190} \]

b) Les dues només facin una de les dues coses. Només cafè (2) o només diari (6), total 8 persones.

• Només cafè: $\displaystyle\binom{2}{2} = 1$.
• Només diari: $\displaystyle\binom{6}{2} = \displaystyle\frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.
• Total: $1 + 15 = 16$.

\[ P(b) = \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{2}{2} + \displaystyle\binom{6}{2}}{\displaystyle\binom{20}{2}} = \displaystyle\frac{16}{190} = \displaystyle\frac{8}{95} \]

c) Cap de les dues no faci res. No fan res: 4 persones. \[ \displaystyle\binom{4}{2} = \displaystyle\frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \] \[ P(c) = \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{4}{2}}{\displaystyle\binom{20}{2}} = \displaystyle\frac{6}{190} = \displaystyle\frac{3}{95} \]

d) Les dues facin ambdues coses. Fan ambdues coses: 8 persones. \[ \displaystyle\binom{8}{2} = \displaystyle\frac{8 \cdot 7}{2} = 28 \] \[ P(d) = \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{8}{2}}{\displaystyle\binom{20}{2}} = \displaystyle\frac{28}{190} = \displaystyle\frac{14}{95} \]

Respostes finals

• a) $\displaystyle\dfrac{1}{190}$
• b) $\displaystyle\dfrac{8}{95}$
• c) $\displaystyle\dfrac{3}{95}$
• d) $\displaystyle\dfrac{14}{95}$